（A∪B）∩C＝（A∩C）∪（B∩C）

質問

≠A∩C∪B∩C
って成り立ちますか？

回答No.1

oignies · ベストアンサー

かつ、と、または、を示す記号がどっちがどっちだったか

忘れている状態ですが・・・

どっちだったとしても、なりたつきがします。

図示して考えると簡単だと思いますが、大使いて複雑

でないので、頭のなかで考えるだけでいいと思います。

ちなみに図示するときは、

かつ：かさなる部分

または：どちらか一方にでもかかる部分

とおきかえます

お礼

ありがとうございました。

回答No.5

muturajcp

(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)
は分配法則によって成り立ちますが

演算順序を左から右へ
A∩C∪B∩C={(A∩C)∪B}∩C
と解釈しても
D=A∩C
とすると
D∩C=(A∩C)∩C=A∩C=D
だから
{(A∩C)∪B}∩C
=(D∪B)∩C
=(D∩C)∪(B∩C)
={(A∩C)∩C}∪(B∩C)
=(A∩C)∪(B∩C)
と∩を優先した結果と同じになるので

{(A∩C)∪(B∩C)≠A∩C∪B∩C}は成り立ちません
{(A∪B)∩C≠A∩C∪B∩C}も成り立ちません

お礼

ありがとうございました。

回答No.4

alice_44

(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C) は、分配法則そのものであり、
通常、∪ と ∩ の定義に含まれます。当然、成り立ちます。

(A∩C)∪(B∩C)≠A∩C∪B∩C の方は、微妙ですね。
括弧なしで A∩C∪B∩C と書いてしまった場合、
演算の順序は定義されていない と考えたほうが
誤解が少ないという意味で安全だろうと思います。

∪ を「論理和」、∩ を「論理積」と呼ぶようように、
∪ を加法、∩ を乗法になぞらえて考えることが多く、
論理式を整理するときにも、∩ で作った「項」を
∪ で連結して書く「積和標準形」がよく使われます。
その意味では、∩ が乗法だから優先として扱うこともあり、
その際は、A∩C∪B∩C=(A∩C)∪(B∩C) が常に成り立ちます。

しかし、よく知られているように、
論理代数は ∪ と ∩ について双対的であり、
(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C) の形の分配法則も成り立ちます。
そこで、∪ を乗法的、∩ を乗法的にとらえて、
逆に「和積標準形」で扱うこともあるのです。
ドモルガンの法則を通じて、正論理と負論理の ∪ と ∩ が
相互に入れ替わることもあり、積和形と和積形は同等のもの
と考えることができます。
そこで、和積形を主に使う文脈では、むしろ ∪ の方が
∩ より優先として扱う場合もあるのです。

だから、∪ と ∩ のどちらが優先かは、文脈ごとに確認
する必要があり、黙って ∩ 優先と決め込むべきではありません。
そういうことのローカルルールをいちいち明示するのが
面倒な場合には、論理和を ＋、論理積を ・ または演算子省略
で表す記法もよく使われます。そっちなら、誤解の余地がない。

前後の文章抜きで式だけ見た相手に誤解なく伝わるようにする
ためには、A∩C∪B∩C ではなく、括弧を使って
(A∩C)∪(B∩C) だか A∩(C∪B)∩C だか判るように書くべきです。

だからといって、A∩C∪B∩C を ((A∩C)∪B)∩C と解釈するのは、
やや冗談が過ぎるように感じますが。

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

Nakay702

以下のとおり、お答えします。

＞（A∪B）∩C＝（A∩C）∪（B∩C）
＞≠A∩C∪B∩C
＞って成り立ちますか？

⇒交換法則と分配法則とに照合すると、
（A∪B）∩C＝（A∩C）∪（B∩C）
が成り立つことは明快ですね。

ところで、
（A∪B）∩C＝（A∩C）∪（B∩C）
のように、カッコがある場合はそこを先に演算しますが、
A∩C∪B∩C
のように、カッコがないと、
単純にこの順序で演算しますので、

A∩C∪B∩C
の式は、結局C∪の部分がないのと同じで、
A∩C∪B∩C＝A∩B∩C
ということになってしまいます。
∴ （A∪B）∩C≠A∩C∪B∩C
です。

以上から、
（A∪B）∩C＝（A∩C）∪（B∩C）
かつ、
（A∪B）∩C≠A∩C∪B∩C
が成り立つ、と言えます。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

info22_

通常の算術演算でも「×、÷」の方が「＋、ー」より演算の優先度が高いことは知っていますね？

集合や論理演算でも「∩」（キャップ）の方が「∪」（カップ）より演算の優先順位が高いので括弧を外しても演算の優先順位は保たれます。

勿論、優先順位が同じなら前から後ろへと演算します。括弧がある場合は内側の（入れ子の）括弧の方が演算の優先順位が高くなります。

以上の理由から
>（A∪B）∩C＝（A∩C）∪（B∩C）＝ A∩C∪B∩C
これは成り立ちますが

>（A∩C）∪（B∩C）≠A∩C∪B∩C
これは一般的には成り立ちません。

お礼

ありがとうございました。