(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)・・

質問

(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)の展開の仕方を教えて下さい。

回答No.6

Mr_Holland · ベストアンサー

ANo.4です。
　お礼をありがとう。

＞２行目、（a-b+c)がなぜ（a-Y)と展開できるのでしょうか？。
＞Ｙ=ｂ－ｃ　なので、合わない気がするのですが。

　ここは次のように計算しています。

　a-b+c
=a-(b-c)
=a-Y　　　　←Y=b-c

　Yの前にマイナスを付けることでbとcの符号をそれぞれ反転させることができます。

お礼

ありがとうございました！

回答No.5

tomokoich

a-b+c
=a-(b-c)　　--->式の中のb-cを見つけます
のことなので
b-c=Yとおくと
上の式はa-Yになります。
他の式の展開の解きも同じ・・

-a+b+cでa-bを例えばXとおくと
-a+b+c
=-(a-b)+cとしておいて-X+cに置き換えます

お礼

ありがとうございました。

回答No.4

Mr_Holland

共通部分をまとめて　できるだけ　(X+Y)(X-Y)=X^2-Y^2 などの公式を使うようにすれば　計算ミスを減らし機械的に展開することができます。

　(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)
=(a+X)(-a+X)×(a-Y)(a+Y)　　　　　　←X=b+c, Y=b-c とおく。
=(-a^2+X^2)(a^2-Y^2)
=-(a^2-X^2)(a^2-Y^2)
=-(A-U)(A-V)　　　　　　　　　　　　←A=a^2, U=X^2, V=Y^2 とおく。
=-{A^2-(U+V)A+UV}
=-A^2+(U+V)A-UV
=-a^4+(X^2+Y^2)a^2-X^2 Y^2　　　　←A,U,V　を元に戻す。
=-a^4+{(X+Y)^2-2XY}a^2-(XY)^2　　←X^2+Y^2=(X^2+Y^2+2XY)-2XY=(X+Y)^2-2XY　の公式を利用する。
=-a^4+{(2b)^2-2(b^2-c^2)}a^2-(b^2-c^2)^2　　←X+Y=2b, XY=(b+c)(b-c)=b^2-c^2 を代入する。
=-a^4+2(b^2+c^2)a^2-(b^4-2b^2 c^2+c^4)
=-a^4-b^4-c^4+2a^2 b^2+2b^2 c^2+2c^2 a^2

お礼

ありがとうございました。
２行目、（a-b+c)がなぜ（a-Y)と展開できるのでしょうか？。
Ｙ=ｂ－ｃ　なので、合わない気がするのですが。
－（マイナス）の扱い方が良く分かりません。

回答No.3

tomokoich

a+b=x a-b=yとおいて
(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)
=(x+c)(x-c)(-y+c)(y+c)
=(x^2-c^2)(c^2-y^2)
=x^2c^2-x^2y^2-c^4+c^2y^2

ここでa,bを戻して

=(a+b)^2c^2-(a+b)^2(a-b)^2-c^4+(a-b)^2c^2
=(a^2+2ab+b^2)c^2-(a^2-b^2)^2-c^4+(a^2-2ab+b^2)c^2
=a^2c^2+2abc^2+b^2c^2-(a^4-2a^2b^2+b^4)-c^4+a^2c^2-2abc^2+b^2c^2
=a^2c^2+b^2c^2-a^4+2a^2b^2-b^4-c^4+a^2c^2+b^2c^2
=2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2-a^4-b^4-c^4

となります

お礼

ありがとうございました！

回答No.2

info22_

公式(A+B)(A-B)=A^2-B^2を使って
(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)
={(b+c)^2-a^2}{a^2-(b-c)^2}
=-{a^2-(b+c)^2}{a^2-(b-c)^2}
=-[a^4 -a^2*{(b+c)^2+(b-c)^2}+{(b+c)(b-c)}^2]
=-{a^4 -a^2*2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2}
=2a^2*b^2 +2a^2*c^2 +2b^2*c^2 -a^4 -b^4 -c^4

お礼

ありがとうございました！

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。

「にこいち（2個ずつまとめる）」で考えていけばよいかと。
たとえば、最初は
(与式)＝ { (b+c)+a }{ (b+c)-a }* { a-(b-c) }{ a+(b-c) }

と変形して、(x+y)(x-y)＝ x^2- y^2の公式を使います。

あとは、なるだけ、ぎりぎりまで式は展開せずに整理していけば、
混乱もなくできると思います。
そのときも「にこいち」で整理していけると思います。

お礼

ありがとうございました。大変助かりました。