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次の繰り返し積分の積分順序を交換して値を求めろ
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領域 0＜x＜1, 0＜y＜√(1-x2乗) を x=一定 ではなく y=一定 でスライスせよということです。 xy 平面に図示すれば判るように、 領域は第一象限の単位四分円であり、 0＜y＜1, 0＜x＜√(1-y2乗) と書けます。 よって、 ∫[0＜x＜1] ∫[0＜y＜√(1-x2乗)] x/√(x2乗+y2乗) dy dx = ∫[0＜y＜1] ∫[0＜x＜√(1-y2乗)] x/√(x2乗+y2乗) dx dy であり、 = ∫[0＜y＜1] (1-｜y｜) dy = 1 - 1/2 となります。 積分順序を交換すると、置換積分 t = x2乗 が使えて、 内側の積分が簡単になるんですね。 極座標変換する手もあるけれど…
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