- ベストアンサー
重積分、積分順序
重積分の問題で範囲が与えられているとします。 D={(x、y)l0≦x≦1、x≦y≦1} とか。 その時に積分する順番ってxからとかyからとかきまってるんですか? 具体的にいうと ∫(x=0~1){∫(y=x~1) f(x,y)dy}dx と ∫(y=x~1) {∫(x=0~1) f(x,y)dx}dy では違いますよね? 積分順序を交換すると、また積分範囲を考えなおさないといけないですよね? 僕は勝手にxの範囲は具体的にきまっており yの範囲はxによって変わるから 先に変数に左右されるyの方を積分しないとだめなのかな?と思っていたんですが、それだと曲座標表示の時のE={(r,θ):0≦r≦a , 0≦θ≦π/2}の時みたいにrもθも独立した範囲をもってるときはどっちからやろうがいいということなのかな?とおもったんですが・・・。 違うんでしょうか?
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
関連するQ&A
- 重積分の順序の交換
非有界な関数f(x,y)を重積分(0≦x≦1,0≦y≦1)することを考えます。 具体的にはf(x,y)=(x-y)/(x+y)^3です。 この時、xで先に積分するか、yで先に積分するかで値が変わることはありますか? 僕が行った計算では、変数変換(x,z)=(x,x+y)とすると、ヤコビアンは1でdxdy=dxdzで、 ∫_0^1 dx ∫_0^1 f(x,y) dy =∫_0^1 dx ∫_x^{x+1} (2x-z)/(z^3) dz =∫_0^1 dx 1/(x+1)^2 = 1/2 zの積分はxを定数として計算しています。 ここで、逆の順序で積分すると、xとyの変数を入れ替えたものは等しいので、 ∫_0^1 dx ∫_0^1 (x-y)/(x+y)^3 dy =∫_0^1 dy ∫_0^1 (y-x)/(x+y)^3 dx = - ∫_0^1 dy ∫_0^1 (x-y)/(x+y)^3 dx =1/2 よって、 ∫_0^1 dy ∫_0^1 (x-y)/(x+y)^3 dx = -1/2 だと思うのです。 また、直感的には、交代式を直線x=yに対称な領域で積分するなら、 ∫_0^1 dx ∫_0^1 (x-y)/(x+y)^3 dy = 0 が正しいとも思えます。 どうかこの辺の事情をお教えください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 累次積分の順序変更
累次積分の積分順序の変更 累次積分 ∫(1→2)dy∫(y-1→y+1)f(x、y)dx の積分順序を変えよ 1≦y≦2 y-1≦x≦y+1 だから。 xy平面にグラフを書く。 すると平行四辺形がかけました。 ↑の累次積分ではxの積分→yの積分の順序なので yの積分→xの積分に順序を変えます。 以上からグラフの形より積分を3つに分けて {∫(0→1)dx∫(1→x+1)f(x、y)dy}+{∫(1→2)dx∫(1→2)f(x、y)dy} +{∫(2→3)dx∫(x-1→2)f(x、y)dy} このようになりました。 わざわざ3つにわける必要はなかったでしょうか? そもそもやり方はあってるのでしょうか。。。 どなたか教えていただけないでしょうか!
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 重積分の計算について
以下の重積分の計算の仕方がさっぱりわからず難儀しております。 初心者につき、基本的なことが分かっていないのだと思いますが、 どのような順序で計算を行えばいいのか、考えたかと計算の流れを 教えていただけないでしょうか? 【問題】 次の重積分の計算をせよ。 ∫∫A (x^2+2y) dxdy 但し、A=[0,1]×[0,2]である。 (Aは∫の右下につく小さいAです。) 【疑問点】 dxとdyでそれぞれ1かいづつ積分すればいいのでしょうか? A=[0,1]×[0,2]の範囲の解釈ですが、 以下の範囲で積分をするというのであってるでしょうか? x 0→0 y 1→2 アドバイスのほど、よろしくおねがいします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 重積分と積分範囲について
回答者の皆様、いつもお世話になります。 以下の問題に関して自信がもてませんので、添削していただきたく思います。 ∬ 1/√(x-y^2) dxdy 積分範囲 0≦x≦1 x≧y^2 先ず積分順序ですがyから処理しようとしますと、Arcsinとか虚数とか出てくる気がしますので、xに着目します。 y^2≦x≦1 x≧y^2 ⇒ |√x|≧y ∴ ‐√x≦y≦√x 0≦x≦1より、‐1≦y≦1 以上より、積分範囲は ‐1≦y≦1 かつ y^2≦x≦1 ∫[y^2 1] 1/√(x-y^2) dx について ∫[y^2 1] 1/√(x-y^2) dx , x-y^2=tとして、dt=dx ∫[0 1-y^2] 1/√(t) dt = [ 2√t ][0 1-y^2] =2√(1-y^2)-0=2√(1-y^2) 以上より∫[-1 1] 2√(1-y^2) dy 、y=sinθ として dy=cosθ dθ =∫[3π/2 π/2] 2cosθ√(cos^2θ) =[2cos^3θ][3π/2 π/2] =0 と、0になってしまいました。 考え方は合っているのでしょうか?ご指導願います。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 重積分の積分範囲について。
重積分の積分範囲について。 質問させて頂きます。 ------------問題----------------- 以下の積分をせよ。 ∬D √x^2+y^2 dxdy D = {(x,y)|x^2+y^2 <= 2x} --------------------------------- 自分なりに考えてみました。 範囲 D より、(x-1)^2+y^2 <= 1 となり、 0 <= x <= 2 , -1 <= y <= 1 -(1); 次に極座標に変換する。 x=rcosθ , y=rsinθ とおく。 (1)より、0 <= θ <= π/2 , 0 <= r <= 1 (範囲 E とする。) よって、(与式) = ∬E r^2 drdθ ・・・・・以下省略・・・・ A. π/6 となったのですが、積分範囲に自信がありません。やっていいか分からない式変形をして。範囲を出したので、正しい範囲の出し方を教えてもらいたいです。これで合っているでしょうか。 分かる方、解答お願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 重積分にて、積分順序の交換?方法
例えば、∫[a→x]{∫[a→y]f(y,t)dt}dy・・・(1) の積分順序を交換するとしたらどうすればよいのですか? (1)は例なので、これじゃなくてもいいので、基本的な考え方、解き方を教えてください。どうしても、わからないのでわかりやすくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分順序の交換の際の書き方について
積分順序の交換の問題。 ∫[x=0,1]dx∫[y=ax,bx]f(x,y)dyを変形した場合、正しい書き方は次のどちらでしょうか? i)∫[y=0,b]dy∫[x=y/b,1]f(x,y)dx-∫[y=0.a]dy∫[x=y/a,1]f(x,y)dx ii)∫[y=ax,bx]dy∫[x=y/a,y/b]f(x,y)dx 勿論どちらも間違っている可能性もありますが。 順序の交換の問題で減算ってアリですか?
- ベストアンサー
- 数学・算数