重積分と積分範囲について

質問

回答者の皆様、いつもお世話になります。
以下の問題に関して自信がもてませんので、添削していただきたく思います。

∬　1/√(x-y^2) dxdy
積分範囲　0≦x≦1 x≧y^2

先ず積分順序ですがyから処理しようとしますと、Arcsinとか虚数とか出てくる気がしますので、ｘに着目します。

y^2≦x≦1

x≧y^2　⇒　|√x|≧y　∴　‐√x≦y≦√x
0≦x≦1より、‐1≦y≦1

以上より、積分範囲は　‐1≦y≦1　かつ　y^2≦x≦1　

∫[y^2　1]　1/√(x-y^2) dx　について

∫[y^2　1]　1/√(x-y^2) dx　,　x-y^2=tとして、dt=dx
∫[0　1-y^2]　1/√(t) dt　= [ 2√t ][0　1-y^2]
=2√(1-y^2)-0=2√(1-y^2)

以上より∫[-1　1]　2√(1-y^2)　dy　、y=sinθ　として　dy=cosθ dθ
=∫[3π/2　π/2] 2cosθ√(cos^2θ) =[2cos^3θ][3π/2　π/2]
=0

と、0になってしまいました。
考え方は合っているのでしょうか？ご指導願います。

回答No.2

WiredLogic · ベストアンサー

すっと値が正の式を積分して、0になるのは、うまくないですよね。答はπになると思います。

基本的な考え方そのものは、特に問題ないと思います。

前半、xで積分するところまでは、積分範囲は、式で計算するより、図を描いた方が明解、とか、(x+a)^p の形の積分だから、
わざわざ、t に置換しなくても、大丈夫、とかはありますが、間違っているところはありません。

ポイントは、∫[-1　1]　2√(1-y^2)　dy のところ、

最速でやるなら、2∫[-1,1]　√(1-y^2)　dy と2を外に出し、z = √(1 - y^2) は、両辺を２乗すると、y^2 + z^2 = 1 になるので、yz平面での、 円の、z≧0 の部分、つまり半径１の半円の面積だから、π/2、んで、２倍して、π、というやるのが、本命。

計算するのも、悪い訳でなく、y = sinθ と置換するのは、全く問題なし。
間違っているのは、最後、（cosθ)^2 の積分を、(cosθ)^3 みたいにやっているところです。
ここは、半角公式使って、{1 + cos(2θ)}/2 としてから、積分します。
同じ合成関数の積分でも、F'(x) = f(x)なら、∫f(ax)dx = (1/a)F(ax) とお手軽にできますから。

こういう感じでない合成関数は、置換積分などを考えることになり面倒になりますから、三角関数の何乗型の積分は、何倍角公式辺りを使って、角の定数倍の三角関数で手軽に表せるときは、その手で、もっと一般的な形や、その手が面倒な形のときは、部分積分で漸化式作ってやるのが、よくある手です。

あと、注意点としては、∫[-1,1]　2√(1-y^2)　dy は、yについての偶関数の積分だから、2∫[0,1]　2√(1-y^2)　dy　とすると、符号などで悩まずにすみますし、置換した積分範囲も、3π/2～π/2 はちょっと気持ち悪く、-π/2～πとやるのが、普通です。

お礼

すごく丁寧に解法を示していただき、ありがとう御座います！
さっそく再挑戦してみます。

回答No.1

alice_44

最後近くの所で、
√( (cosθ)の2乗 ) の正負を間違っている。
cosθ＜0 のときは、
√( (cosθ)の2乗 ) = -cosθ。

お礼

的確なご指導、ありがとう御座います！
さっそく再計算してみます。