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積分順序の交換

∬(x+y)dxdy 0≦3x+y≦2 1≦x-2y≦3 という問題です。 この問題で積分順序の交換をするのですが、 積分範囲をどう変換していいかわかりません。 グラフには書いてみたのですが、その後xとyの範囲はどのように定めればよいのでしょうか?

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  • info22
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回答No.2

そのまま積分すると複雑な場合分け(領域の分割)が必要になります。 積分の上限と下限が定数とする単純な積分範囲にすることが、積分を非常に単純かつ簡単にします。 その様な変数変換は定石です。 #1さんも言われているように > 0≦3x+y≦2 > 1≦x-2y≦3 の挟まれた間の式をそれぞれ別の変数 u=3x+y、v=x-2y …(◆) と置換することで 新しい2つの積分変数の範囲が 0≦u≦2 1≦v≦3 と単純になり、積分の上限下限が定数に出来ます。 積分変数の変更で面積素の変換係数(ヤコビアン)をかけて 領域の変換をします。 |J|=(∂u/∂x)(∂v/∂y)-(∂u/∂y)(∂v/∂x)=|3*(-2)-1*1|=7 dxdy=7dudv u=3x+y、v=x-2y → x=(2u+v)/7, y=(u-3v)/7 x+y=(1/7)(3u-2v) I=∬(x+y)dxdy=∬(1/7)(3u-2v)7dudv=∬(3u-2v)dudv =∫[1,3]{∫[0,2] (3u-2v)du}dv または =∫[0,2]{∫[1,3] (3u-2v)dv}du と ■■簡単に積分の順序が入れ替えられます。■■ これは(◆)の変数変換で積分領域が 長方形領域に変換できたことによります。 I=∫[1,3]{∫[0,2] (3u-2v)du}dv =∫[1,3] [(3/2)u^2-2vu)] [0,2]dv =∫[1,3] [6-4v]dv = [6v-2v^2] [1,3] = 18-18-(6-2)= -4 I=∫[0,2]{∫[1,3] (3u-2v)dv}du =∫[0,2]{(9u-9)-(3u-1)}du =∫[0,2] (6u-8)du =12-16= -4 と積分の順序を入れ換えても当然同じ結果になります。

fenghuang
質問者

お礼

ヤコビアンの使い方がわかりませんでしたが、このような問題に使うのですね。参考になりました。 ありがとうございます。

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その他の回答 (1)

  • rabbit_cat
  • ベストアンサー率40% (829/2062)
回答No.1

積分順序の交換とは? つまり、この積分をしろ、ということでいいのかな。 何も考えないで機械的にやるなら素直にやるなら、 積分領域を 1/7≦x≦3/7 3/7≦x≦5/7 5/7≦x≦1 の3つに分けて、それぞれ重積分すればいいんでしょう。 ただ、コンピュータではなくて、人間が手で計算するなら、普通はこんな馬鹿正直な方法ではなくて、 s = 3x+y t = x-2y と変数変換するほうが、ずっと早くできるでしょう、

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