もっとも確率の高いボールの個数

質問

３つの箱Ａ、Ｂ、Ｃがあり、それぞれ10個のボールが入っているとします。
箱Ａには赤いボールが１個、白いボールが９個あり、
箱Ｂには赤が５個、白が５個、箱Ｃには赤が８個、白が２個入っています。
　Ａ：●○○○○○○○○○
　Ｂ：●●●●●○○○○○
　Ｃ：●●●●●●●●○○
箱の中の赤いボールの割合はそれぞれ、Ａは10%、Ｂは50%、Ｃは80%となります。

無作為に箱を選択し、箱の中のボールを何回か取り出すことで、
選択した箱がＡ，Ｂ，Ｃのどれなのかを予想することを考えます。

箱の中のボールを１つ取り出し、また箱に戻す操作を10回繰り返したとき、
赤が１個、白が９個だった場合、
赤の割合は10%で選択したのはＡの箱の可能性が一番高いと思います。

ここからが質問ですが、最初の箱の中のボールが、
Ａは赤が10個、Ｂは赤が９個、白が１個、Ｃは白が10個の場合を考えます。
　Ａ：●●●●●●●●●●
　Ｂ：●●●●●●●●●○
　Ｃ：○○○○○○○○○○
先ほどと同様に箱の中のボールを取り出し、赤が１個、白が９個だった場合、
取り出したボールの赤の割合は10%ですが、
選択した箱は赤が90%（９個）入っているＢの箱になると思います。
取り出したボールの割合と箱の中のボールの割合が大きく乖離していますが、
これは自然なことなのでしょうか。

もっと言えば、３つの箱からの選択ではなく、
単に箱に赤と白が合わせて10個入っているような場合に、
ボールを取り出して赤が１個、白が９個のときに、
箱の中のボールは赤が１個、白が９個の可能性が一番高いと判断してよいのでしょうか。

回答No.3

MagicianKuma

>取り出したボールの割合と箱の中のボールの割合が大きく乖離していますが、これは自然なことなのでしょうか。
あなたにとって自然なこととは何ですか?　明確な定義はないと思いますが、今回の質問では「普通に起こりうること。」の意味と取りました。
そうなら、自然なことではありません。「万にひとつ」よりもっと起きにくい事が起きています。ですから、「自然な事じゃないことが起きたんだなぁ！」が答えです。
わたしなら、真っ先に、「その話（赤1回白9回出たこと）、本当？」と聞き返す場面です。

お礼

回答ありがとうございます。

質問の意図が伝わりにくかったので、質問をつくりなおしました。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7978412.html

回答No.2

ask-it-aurora

良い質問ですね．問題は数学的確率と経験的確率を区別していないことのように思われます．

この場合だと箱Bから赤玉を取り出す数学的確率は9/10で，経験的確率が1/10です．この差に違和感を感じたんですよね？普通の感覚からすると両者は一致してると思いがちです．

しかし，たとえばコインを1枚投げたときに表になる確率は1/2と言ったとき，それは何を意味するのでしょうか？コインを投げたら表か裏かのどちらかです．1/2に一体どんな意味があるのでしょうか？それは「十分大きなNをとり，コインをN回投げたらおよそN/2回は表になる」という意味です．難しい言い方をすれば「十分たくさんの試行をすれば，その経験的確率の平均が数学的確率に近づく」という大数の法則のことです．

もとの問題に戻るとこれはたった一回の試行から得られた経験的確率と数学的確率が全然一致しないのは別に不思議でもなんでもないことです．実際に100回くらい実験をして赤玉と白玉の数の比をとってみればおよそ9:1になるでしょう．ふつう確率が9/10だと言ったとき，その意味するところはこういうことで，それ以上の意味はありません．(哲学者が何と言うかは知りませんが．)

## よく似た話があります．数学ではしばしば確率1でなんとか，とか確率0でなんとか，という主張を見かけます．これをある事柄が絶対に起こる／起こらないと解釈する人がいますが，それは間違いです．その意味するところは比が1:0や0:1に近づくということであって，絶対に起こるとか起こらないとか，そういうことではありません．

お礼

回答ありがとうございます。

質問の意図が伝わりにくかったので、質問をつくりなおしました。
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回答No.1

f272

> 取り出したボールの割合と箱の中のボールの割合が大きく乖離していますが、
> これは自然なことなのでしょうか。

1億回ほどやれば1回くらいは起きるでしょうね。
しかし可能性があるのはその場合しかないのでＢの箱になるという推論は合理的です。

> 箱の中のボールは赤が１個、白が９個の可能性が一番高いと判断してよいのでしょうか。

蓋然性がもっとも大きいのは赤１白９の場合です。47%と見積もることができます。
しかし赤2白8の場合も32%の確率で起きますね。
赤3白7の場合15%
赤4白6の場合5%
赤5白5の場合1%
赤6以上の場合1%未満

お礼

回答ありがとうございます。

質問の意図が伝わりにくかったので、質問をつくりなおしました。
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