部分積分法で解かれる数式
- 部分積分法を用いて、与えられた数式を解析する過程でミスが見つかりました。
- ミスが見つかった箇所は、∫xe^(-x) dxの積分の過程です。
- 正しい答えは、-{x^(2) + 2x + 2 }e^(-x) + Cですが、私の回答との違いが+2と-2の乗算の部分にあるようです。
- ベストアンサー
部分積分法
部分積分法にて解きましたが途中計算のどこかが間違っており答えにたどり着きませんでした。 ミスした箇所を教えていただけると嬉しいです。 ∫x^(2) (e^x) dx = x^(2) ・-e^(-x) - ∫2x・-e^(-x) dx = -x^(2)・e^(-x) + 2∫xe^(-x) dx ・・・(1) ----------------------- 上記の式の∫xe^(-x) dx について積分 ∫xe^(-x) dx = -xe^(-x) - ∫-e^(-x) dx = -xe^(-x) + e^(-x) dx これを(1)の部分に当てはめる = -x^(2)・e^(-x) + 2{ -xe^(-x) + e^(-x) } = -x^(2)・e^(-x) - 2xe^(-x) + 2e^(-x) = -{x^(2) + 2x - 2 }e^(-x) + C ← 答え しかし解答は -{x^(2) + 2x + 2 }e^(-x) + C になります。私の回答とは +2 と-2の違いなのですが、 どこから、差がでているのかがわかりませんでした。
- Manami1980
- お礼率74% (113/152)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
一行目は、∫(x^2)(e^-x)dx ですよね？ (1) は ok. 二回目の部分積分に問題があります。 = -xe^(-x) - ∫-e^(-x) dx = -xe^(-x) + e^(-x) dx ←この部分 = -xe^(-x) - ∫-e^(-x) dx = -xe^(-x) + e^(-x) と誤解したようですが、 正しくは = -xe^(-x) - ∫-e^(-x) dx = -xe^(-x) + ∫e^(-x) dx = -xe^(-x) - e^(-x) ですから、 ここで ± が違ったのでしょう。
関連するQ&A
- 積分計算（部分積分）
大学から理転し、現在微分方程式を勉強しております。 高校数学３Cの範囲は一通り独習しておりますが、以下の積分計算が分かりません。 ∫xe^(x^2)dx = e^(x^2)/2 ∫xe^(-(x^2)/2)dx = -e^(-(x^2)/2) いずれも部分積分法を用いるように思われるのですが、どうしても右辺が導けません。 途中式を詳しく解説していただける方、よろしくお願い申し上げます。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 部分積分法で定積分を求めたいのですが～
問題集を解いていますが、3つ分からない問題がありました。 部分積分法で求めた時の途中式～答えまでの流れを教えてください。 お手数ですが、宜しくお願いします。 (1) ∫(0→π/2) x cos2x dx (2) ∫(0→π/4) x^(2) sin2x dx (3) ∫(0→2π) e^(x) cos x dx 答え (1) -1/2 (2) π/8 - 1/4 (3) { e^(2π)－1 } / 2
- ベストアンサー
- 数学・算数
- この積分のやり方を教えてください
高専に通う学生です。 下の積分の解き方がわかりません。 ∫((xe^x)/((1+x)^2))dx 実際には分数になってます。 答えは(e^x)/(1+x)となるようですが途中計算が分かりません。 解法を教えてください。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分積分
数学の問題を解いたのですが、解答がないので答え、途中式があっているのか分からず困っています。 皆さんの力を是非お貸しください。 I f(x)=x^x(x>0)の最小値を求めよ。 ＊x^xは「xのx乗」と言う意味です 私の解答)[対数を使うのでは？と思いました] g(x)=logf(x)=xlogx xは0に近づくにつれ、限りなく0に近くなる。 logxもxが0に近づくにつれ、logxは小さくなる。 よってxlogxは限りなく小さくなり、 最小値はない。・・・・(答え) II ∫xe^(－ax) dx(a>0)を計算せよ。 [0 ∞] ＊∫ は定積分で∫の上側に∞、下側に0がある意味で使っています [0 ∞] ＊e^(－ax)はeの－ax乗と言う意味で使っています。 私の解答)[部分積分を使うのでは？と思いました] f =x f' =1 g' =e^-ax g =-a・e^-ax ∫xe^(－ax) dx=[-ax・e^(-ax)]－∫(-a・e^-ax)dx [0 ∞] [0 ∞] [0 ∞] =-a・e^-ax・∞+a・e^-ax ・・・・(答え) III ∫xcos(ax)dx(a≠0)を計算せよ。 [0 1] 私の解答)(IIと同様に部分積分か？と思いました) f =x f' =1 g' =cos(ax) g =sin(ax) ∫xcos(ax)=[xsin(ax)]－∫sin(ax) [0 1] [0 1] [0 1] =sin(a)+[cos(ax)] [0 1] =sin(a)+cos(a) ・・・・(答え) 特にIIの∫の範囲(？)に∞が入ったものを経験したことがなく、手持ちの本にも例題がなくxにそのまま代入してよいのか分かりません。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不定積分の問題
不定積分の問題ですが、部分積分法で解く問題ですが、考えても解答通りにならないので、ここで質問するに至りました。途中計算等を教えてください。お手数になりますが、どうか宜しくお願いします。 (1)∫x sec^(2)(x) dx 私が解くと、xtanx- sec^(2) + c になります。 (2)∫Tan^(-1)(x)dx (3)∫Sin^(-1) (x/3)dx (4)∫e^(-2x) sin3x dx ↑部分積分法を繰り返してもとめるのですが、どのような切り口で求めるのかが分かりませんでした。 答え (1) x tan(x) + log | cos(x) | + C (2) xTan^(-1) (x) - (1/2)log{x^(2) +1} + C (3) xSin^(-1) (x/3) + √(9-x^(2)) + C (4) {-e^(-2x)/13 } (2sin3x + 3cos3x ) + C
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 置き換え積分法での解き方。
問題集で置き換え積分法で６問 分からない問題がありました。 途中式も含めて、教えてください宜しくお願いします。 (1)∫3x (x + 3)^(3) dx (2)∫x √(1-x) dx (3)∫sin^(4)(x)・ cos(x) dx (4)∫xe^{x^(2)} dx (5)∫xcos{x^(2)+1 } dx (6)∫1 / x(1 + logx ) dx 答え (1)(3/10)(x+2)^(4) (2x-1) + C (2)(-2/15)(3x+2)(1-x) √(1-x) + C (3)(1/5)sin^(5) (x) + C (4)(1/2)e^{x^(2)} + C (5)(1/2)sin{x^(2)+1} + C (6)log | 1 + logx | + C
- ベストアンサー
- 数学・算数
- log や Tan^-1 などの部分積分について
問題集を解いていますが、部分積分法で求めた時の途中式～答えまでの流れを教えてください。 お手数ですが、宜しくお願いします。どうやら逆関数や対数がでてくると、さらに苦手で、答えと一致しないので苦戦しております。 (1) ∫(1/e → e) log x dx (2) ∫( e → e^2 ) (log x) ^2 dx (3) ∫( 0 → 1/2 ) Sin^(-1) (x) dx (4) ∫( 0 → 1 ) Tan^(-1) (x) dx 答え (1) 2/e (2) 2e^(2) - e (3) (π/12 ) + (√3 / 2) - 1 (4) (π/4 ) - 1/2 log2
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分の計算
次の計算式が解けないです。 ∫(9x+4)^2 √{(9x+4)^2-36}dx ((9x+4)^2-36までルートの中です。） 9x+4をtとおいてt^2√(t^2-36) として計算すればいいのかなと 思ったのですが、答えが５択でどれも 1/72[(9x+4){2(9x+4)^2 -36}] √{(9x+4)^2-36}-1296ln|(9x+4)+√{9x+4(^2)-36}| といった解答なのでとき方が正しくないのかなと思ってしまいました。 この積分の途中式と答えを教えていただけますか？ また、lim x→0+ (e^x + 9x)^(4/x) をL'hopital's Ruleを使って解いたんですが、答えがe+9になりました。自信がないので、途中式と答えを教えてくださるとうれしいです。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます。非常に感謝しております。昨日から考えていたのですが、全く気づきませんでした。しまいには、答えが間違っているのでは～ なんて思ってしまうに至ってました。感謝いたします。