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この積分のやり方を教えてください
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部分積分をすれば {-1/(1+x)}'=1/(1+x)^2、(xe^x)'=(1+x)e^xなので、 ∫((xe^x)/((1+x)^2))dx =∫{-1/(1+x)}'(xe^x)dx =-xe^x/(1+x)+∫(1+x)e^x/(1+x)dx =-xe^x/(1+x)+∫e^xdx =-xe^x/(1+x)+e^x+C =-xe^x/(1+x)+e^x(1+x)/(1+x)+C =e^x/(1+x)+C
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- Duke_Mike
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答えを微分してみれば少しイメージが沸くかと思います。 こういう問題は出来たもん勝ち的な要素が強いと思うんで、 x/(1+x)とかe^x/(1+x)とかxe^x/(1+x)とか色々組み合わせて微分しまくってうまくいくのを探すのがベターかと思います。 分母の項が2乗になっているので分母は(1+x)にしようという所までは最初にいけると思います。e^xが入っているのでそれも微分時に入れないと出てこないから入れてみよう。これを微分すればなんか出てくる。そんな感じです。私はそれでできました。
お礼
回答ありがとうございました。
- info22
- ベストアンサー率55% (2225/4034)
e^x=y(>0)と置換して部分積分すれば良いです。 ln(y)を自然対数として y=e^x,x=ln(y),dx=dy/y ∫((xe^x)/((1+x)^2))dx=∫y*ln(y)/(y*(1+ln(y))^2)dy =y*ln(y)*(-1/(1+ln(y)))-∫(ln(y)+1)*(-1/(1+ln(y)))dy =-y*ln(y)/(1+ln(y))+∫1dy =-y*(ln(y)/(1+ln(y))) +y +C =y/(l+ln(y) +C これ↑に y=e^x を代入すれば ln(y)=xなので 答えになります。
お礼
回答ありがとうございました。
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