- ベストアンサー
二曲線が接するための必要十分条件
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
ANo.1さんが指摘するように、「x=aなる点で接する」という表現は不正確です。そこで、「x=a、y=b なる点で接する」という意味に解釈することにします。当然、次のことが前提です。 （１）f、g ともに、x = a、y = b の近傍で定義されており、f(a,b) = g(a,b) = 0。 また、曲線とか接するとか言うときには、暗黙のうちに、ある程度の滑らかさが前提になっていると解されます。そこで、次のことも仮定します。 （２）x=a、y=bの近傍で、∂f(x,y)/∂x、∂f(x,y)/∂y、∂g(x,y)/∂x、∂g(x,y)/∂y が定義されており、かつ、これらの４つの偏導関数は、x=a、y=bの近傍で連続。 さらに、ややこしい状況を避けるため、次の仮定も置きます（注）。 （３）x=a、y=b において、∂f(x,y)/∂x と ∂f(x,y)/∂y の少なくとも一方は0でない。∂g(x,y)/∂x と ∂g(x,y)/∂y についても同様。 以上の（１）、（２）、（３）の前提の下で、二曲線 f(x,y) = 0, g(x,y) = 0 が x = a、y = b なる点で接するための必要十分条件は、 「適当な実数 k が存在して、∂g(x,y)/∂x = k∂f(x,y)/∂x、∂g(x,y)/∂y = k∂f(x,y)/∂y」 となることです。 （注）仮に、x=a、y=b において、∂f(x,y)/∂x = ∂f(x,y)/∂y = 0 だったとき、f(x,y) = 0 で定義される曲線は、自分と交わったり、折れ曲がったりしていることがあるので、話が複雑になります（添付図参照）。
その他の回答 (2)
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
f(a,b) = g(a,b) = 0 となる b が存在し、なおかつ、 (x,y) = (a,b) において f(x,y) と g(x,y) をテイラー展開したときに 二次の項までが一致すること …じゃないかな。
f(a,y)=g(a,y)=0の解は一つとは限りません。 あなたがいう「接する」とは、少なくとも一つの接点で接している ことを言うのか、それともすべての接点で接していることを言う のか、あるいはそのほかのことを言うのか、どれでしょう？
関連するQ&A
- ２曲線が一点で接する条件
２曲線y = f( x ) と y = g ( x ) が x = α で接する条件は 「 f ' ( α ) = g ' ( α ) かつ f ( α ) = g ( α ) 」が成り立つことと習ったのですが、これは x = α における微分係数とy座標が等しいということだと思うのですが、これはどちらか一方が直線のときにも成り立つのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 必要条件？十分条件？必要十分条件？
こんにちは。 例えばの話ですが、 y=f(x)の最大値を求めよ という問題があったとして、その最大値はy=f(x)であるためのなんらかの条件となっているのでしょうか？ それともこれに必要条件などの議論を持ち込むのは間違っているのでしょうか？ 最近数学の問題を見るといつも、これは必要条件なのか？十分条件なのか？それとも必要十分条件なのか？と考えてしまい、全然問題を解くのに集中できません。 今まではこんなこと考えることはなかったのですが、今は気になってしまい、とても困っています。 どうかよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極値をとるための必要十分条件について。
関数f(x)=x^4+ax^3+bx^2がx=0で極値をとるための必要十分条件はb≠0またはa=b=0であることを示したいとき。 【自分の解答】 f'(x)=x(4x^2+3ax+2b)…(1) 題意より(1)の符号がx=0の前後で変化すればよい。 g(x)=4x^2+3ax+2bとして、g(x)=0の判別式をDとする。 (1)よりg(x)の符号がx=0の前後で変化しなければよい。 それはy=g(x)のグラフがx=0でx軸と交わらなければよいので、 g(0)≠0またはD≦0 これより、 b≠0または9a^2-32b≦0 となり示せません。 何が間違っているのでしょうか？ ちなみに模範解答では求める条件は 「g(0)≠0」または「g(0)=0かつD=0」 となっています。 自分の解答だと、どの部分を余分に考えてしまっているのかわかりません。 また必要十分条件を求める問題のときはどのようにしたら漏れ無く条件を求められるんでしょうか？ 考え方のコツなどあれば回答願います。 宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分積分問題の必要十分条件について
a,b,cを定数とし、f(x)=∫[x,-1] at^2＋bt＋c dx とおく。関数f(x)がx=1で極値4をとるという。 (1) a,bをcを用いて表せ。 (2) 曲線y=f(x)上の点(-1,f(-1))におけるこの曲線の接線が点(0,8)を通るとき、定数a,b,cの値を求めよ。 (3) (2)のとき、関数f(x)を求めよ。 解答(1)a=6-3c b=2c-6 (2)a=3,b=-4,c=1 (3)f(x)=x^3-2x^2＋x＋4 解答そのものに疑問はないのですが、(1)を求める際、a=6-3cは関数f(1)=4から導けるものとして、「f(x)が x=aで極値を取る⇒f'(a)=0」という必要条件のみを用いてf'(1)=0よりa＋b＋c=0を導き出し、b=2c-6という解答を出しているのですが、なぜ十分条件の確認なしでb=2c-6が答えとして決定できるのでしょうか？ また解答説明では十分条件の確認を(3)をとく時点でしています。(2)についてもも十分条件の確認は必要ではないのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 曲線と曲線の交点を通る曲線の求め方（曲線群）
皆様、こんにちは。 円A：f(x,y)と円B：g(x,y)の交点を通る円の方程式は全て kf(x,y)+lg(x,y)=0の形で表せると習ったのですが、 これの応用で 円A：f(x,y)と円B：g(x,y)の交点を通る三次曲線は全て (ax+b)f(x,y)+(cx+d)g(x,y)=0・・・・(1) の形で表せるのでしょうか？ もし2円の交点を通る3次曲線が全て(1)で表せるのでしたら その証明方法なども教えてください。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 平面上の3円が一点で交わる必要十分条件
平面上の3直線を、 f_1(x,y)=a_1x+b_1y+c_1=0 f_2(x,y)=a_2x+b_2y+c_2=0 f_3(x,y)=a_3x+b_3y+c_3=0 とすると、それらが一点で交わる（すべてが平行になった場合、無限遠で交わるとする）必要十分条件は、 λ_1 f_1(x,y) + λ_2 f_2(x,y) + λ_3 f_3(x,y) =0 となる、λ_1、λ_2、λ_3が存在すること。いいかえれば、 行列式| (a_1 b_1 c_1) (a_2 b_2 c_2) (a_3 b_3 c_3) |=0 では、平面上の3円を、 f_1(x,y)=x^2+y^2+a_1x+b_1y+c_1=0 f_2(x,y)=x^2+y^2+a_2x+b_2y+c_2=0 f_3(x,y)=x^2+y^2+a_3x+b_3y+c_3=0 とすると、それらが一点で交わる必要十分条件はどのように考えられるのでしょうか。
- 締切済み
- 数学・算数
- 数III 曲線の長さ
条件(1)(2)をみたす曲線cの方程式y=f(x) (x≧0)を求めよ。 (1) 点(0,1)を通る。 (2) 点(0,1)から曲線c上の任意の点(x,y)までの曲線の長さLがL=e^(2x)+y-2で与えられる。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 曲線の長さ
x^(2/3) + y^(2/3) = a^(2/3) (a>0) としたときの曲線の長さはどう出せばよいのでしょうか＾＾； 媒介変数をｔとして、 x=f(t) y=g(t) と表せたときの曲線の公式 α L=∫ ( ( f'(t) )^2 +( g'(t) )^2 )^(1/2) dt β を使うんですよね？でもコレを使うようにうまく置き換える方法ってのがみつからなくて。 x = t として、無理やり計算しようとしたんですが、計算がやばくなったので途中で断念しました。これで根性でとくしかないのですかねぇ＾＾； やりかたのヒントだけでもいいので教えてくれるとうれしいです＾＾
- ベストアンサー
- 数学・算数
補足
点(a,b)で接しているときです。間違えました。