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曲線の長さ
x^(2/3) + y^(2/3) = a^(2/3) (a>0) としたときの曲線の長さはどう出せばよいのでしょうか＾＾； 媒介変数をｔとして、 x=f(t) y=g(t) と表せたときの曲線の公式 α L=∫ ( ( f'(t) )^2 +( g'(t) )^2 )^(1/2) dt β を使うんですよね？でもコレを使うようにうまく置き換える方法ってのがみつからなくて。 x = t として、無理やり計算しようとしたんですが、計算がやばくなったので途中で断念しました。これで根性でとくしかないのですかねぇ＾＾； やりかたのヒントだけでもいいので教えてくれるとうれしいです＾＾
- rousei
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***************************************************************************************** ＜例題＞次の式で示される アステロイド の θ＝０ から θ＝π/２ までの曲線の長さを求めよ。 ｘ＝ａcos３θ， ｙ＝ａsin３θ ***************************************************************************************** ＜解答＞条件から，ｘ＝ａcos３θ， ｙ＝ａsin３θ ｄｘ/ｄθ＝３ａcos２θ(－sinθ)，ｄｙ/ｄθ＝３ａsin２θ(cosθ) 前例題より，ｄＬ/ｄθ＝{(ｄｘ/ｄθ)２＋(ｄｙ/ｄθ)２}１/２ 上の式より， (ｄＬ/ｄθ)２＝(ｄｘ/ｄθ)２＋(ｄｙ/ｄθ)２ ＝{３ａcos２θ(－sinθ)}２＋{３ａsin２θ(cosθ)} ＝９ａ２cos４θsin２θ＋９ａsin４θcos２θ ＝９ａ２cos２θsin２θ(cos２θ＋sin２θ） ＝９ａ２cos２θsin２θ ｄＬ/ｄθ＝３ａcosθsinθ ＝３ａcosθsinθ ＝３ａ(１/２)sin２θ ｄＬ＝∫(３ａ/２)(sin２θ)ｄθ Ｌ＝(３ａ/４)(－cos２θ)＋Ｃ ＝－(３ａ/４)cos２θ＋Ｃ θ＝０ のとき，Ｌ＝０ から，Ｃ＝３ａ/４ Ｌ＝－(３ａ/４)ａcos(２θ)＋３ａ/４ θ に π/２ を代入すると， Ｌ＝－(３ａ/４)ａcos(２×π/２)＋３ａ/４ ＝－(３ａ/４)(－１)＋３ａ/４ ＝３ａ/２ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ （答） http://imai48-hp.hp.infoseek.co.jp/japanese/bibun/no010.html -------------------------------------------------------------------------------------- ですから、（３ａ/２）×4＝6a -------------------------------------------------------------------------------------- へこんだ円という印象ですね。図は http://homepage2.nifty.com/sintakenoko/Cabri/CAsteroid.html 図をかくには http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/index.html
お礼
図までありがとうございました＾＾
- oshiete_goo
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x=a・cos^3t[＝a・(cost)^3] y=a・sin^3t と置いてみて下さい．
お礼
アドバイスありがとうございました＾＾ 置いてみたらできました！
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お礼
ありがとうございました！ とてもわかりやすいです＾＾