微分積分問題の必要十分条件について
- 微分積分問題の必要十分条件について説明します。
- 解答(1)において、関数f(1)の極値からaとbの値を求める方法に疑問があります。
- 解答(2)において、必要条件と十分条件の確認について疑問があります。
- ベストアンサー
微分積分問題の必要十分条件について
a,b,cを定数とし、f(x)=∫[x,-1] at^2＋bt＋c dx とおく。関数f(x)がx=1で極値4をとるという。 (1) a,bをcを用いて表せ。 (2) 曲線y=f(x)上の点(-1,f(-1))におけるこの曲線の接線が点(0,8)を通るとき、定数a,b,cの値を求めよ。 (3) (2)のとき、関数f(x)を求めよ。 解答(1)a=6-3c b=2c-6 (2)a=3,b=-4,c=1 (3)f(x)=x^3-2x^2＋x＋4 解答そのものに疑問はないのですが、(1)を求める際、a=6-3cは関数f(1)=4から導けるものとして、「f(x)が x=aで極値を取る⇒f'(a)=0」という必要条件のみを用いてf'(1)=0よりa＋b＋c=0を導き出し、b=2c-6という解答を出しているのですが、なぜ十分条件の確認なしでb=2c-6が答えとして決定できるのでしょうか？ また解答説明では十分条件の確認を(3)をとく時点でしています。(2)についてもも十分条件の確認は必要ではないのでしょうか？
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>「f(x)が x=aで極値を取る⇒f'(a)=0」という必要条件のみを用いて > f'(1)=0よりa＋b＋c=0を導き出し、b=2c-6という解答を出しているのですが、 > なぜ十分条件の確認なしでb=2c-6が答えとして決定できるのでしょうか？ 十分性の確認が必要だと私は思います。 試験の問題なので、(1)については「a, b が c を用いて表せるとすればどういう形か」を答えれば OK という見解もあるかもしれませんが、数学の問題として考えた場合に、上記の解答で得られた結論は 「a, b, c に関係があるとすれば、その一つは a = 6 - 3c, b = 2c - 6」 だということだけです。 もしかすると、例えば c >= 0 という条件を満たさないと、f(x) が「実際には」極値を取らないという 可能性を排除できません。
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