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微分の問題
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もし、2a≠0と書かなければ、2a=0の時f(0)*f(2a)<0となれば、それは解に含まれる事になります。もしあっても解には含まれないのですから2a≠0が必要です。 確かに2a=0の時f(0)*f(2a)≧0となり、自動的に除外されますが、それは、頭の中で2a=0の時、f(0)*f(2a)={f(0)}2≧0という計算をして、導き出されたものです。ですので、2a≠0を書かなければ、このような計算をしなかったことになります。 2a≠0と書くのはstripeさんのためにもなると思います。 例えば、質問と同じ様な問題で、 「・・・相違なる二実数解を持つような・・・」 という問題ですと、 f(0)*f(2a)≧0、2a≠0 と、2a≠0がなければ、違う答えになります。 もし日頃から2a≠0とする事に気をつけていれば、このような問題で、極値を持つ条件を見落とす事が少なくなりますね。 「2a≠0」なんて1行ですみますし、おまじないだと思って書きましょう
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確かにおっしゃる通りですね。 a=0のときはf(0)*f(2a)=f(0)*f(0)<0になることは 有りません。最初に断らなくても後から自動的に表れる でしょう。 しかし採点者の気持ちで解答を見てみましょう。 「2a≠0」が書いてないと、この解答者は2a=0のとき 極値が無いことが分かっていない(見落としている)のではないか、と思ってしまいます。 実際そういう解答者もいるでしょう。 「同じ値を掛けて、負になることってない」と断るより 最初から「2a=0の場合は極値を持たないので2a≠0」 と言っておいたほうが良いと思います。
お礼
>しかし採点者の気持ちで解答を見てみましょう。 「2a≠0」が書いてないと、この解答者は2a=0のとき 極値が無いことが分かっていない(見落としている)のではないか、と思ってしまいます。 実際そういう解答者もいるでしょう。 はい、その通りですね。 先生のほうからすると、わかっているのかわかっていないのかがよくわかりませんもんね。 アドバイス有り難うございました。
- fushigichan
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stripeさん、こんにちは。 >f(x)=(1)の左辺 とおいて、極値を持つ時のxの値を求めるとx=0、2aとなります。 ということから考えると、もともとの式(1)は、 x^3-3ax^2+4a=0・・・(1) でよろしいでしょうか。 でないと、 f'(x)=3x^2-6ax=3x(x-2a) とならないですね。 さて、 >求める条件は「f(0)*f(2a)<0」 だけでいいのかなと思ったのですが、解答には「2a≠0」という条件も含まれていました。 まず、極値を持つようなxの値が、 x=0,2a だと分かりましたね。これで増減表を書くわけですが、 もしも、2a=0としてしまいますと、 f'(x)=3x^2 となりますので、 f'(x)≧0 となります。そして、そのf'(x)=0となるのは、x=0 のときだけになってしまいます。 (1)は、x^3=0 というグラフになりますね。これは、x=0でx軸に接しています。 ここで、3重解を持っているんですね。 ですから、「異なる3実数解を持つ」という条件に反してしまうんです。 というわけで、2a≠0 という条件は必要になってきます。 ご参考になればうれしいです。頑張ってください!!
お礼
どうもありがとうございます! ちなみに昨日の問題はやってみました(^^)v y=x^3のグラフは、教科書とかに極値を持たない例として載っていましたね。忘れていました。 参考にさせていただきます。アドバイス有り難うございました!
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>2a≠0を書かなければ、このような計算をしなかったことになります。 結果だけみて、必要無さそうだから書かない、ってのはダメですよね。 >「・・・相違なる二実数解を持つような・・・」 こんな場合は、答えにも影響してしまいますよね。 気をつけます。 アドバイス有り難うございました。