微分の問題

質問

微分の問題なのですが

ａを定数として、関数f(x)=2x^3-3ax^2+6(a-1)x+a-4とすると

（１）f(x)が極値をもつのはaがどのような条件の時ですか？

（２）xについての方程式f(x)=0が異なる３個の実数解を持つのは
　　　aがどのような条件のときですか？

ちなみに（１）の答えが aキ2になるのですが
私は判別式を使って解いたのですが
aキ2はでてきませんでした。

（２）は解答ではa＜0,4＜aです。
教えて下さい。お願いします。

回答No.3

fushigichan · ベストアンサー

emiyanさん、こんにちは。

＞（１）f(x)が極値をもつのはaがどのような条件の時ですか？

まず、y=f(x)の導関数f'(x)を求めます。
f'(x)=6x^2-6ax+6(a-1)
=6{x^2-ax+(a-1)}・・・（☆）
さて、ここでy=f(x)が、極値を持つには、導関数f'(x)が異なる二つの実数解を
持たねばならないので、その判別式＞０でなければならない。

（☆）の判別式をとってみましょう。
Ｄ=a^2-4(a-1)
=a^2-4a+4
=(a-2)^2
これは常に、０以上ですから、判別式が正になるためには、D≠0
でなければなりません。よって、a≠2という条件になります。

＞（２）xについての方程式f(x)=0が異なる３個の実数解を持つのは
　　　aがどのような条件のときですか？

これは、ちょっと難しいですが、グラフで考えてみるといいですね。
y=f(x)が、３つの異なる実数解を持つということは、
y=f(x)のグラフが、ｘ軸と３点で交わるということになります。

つまり、それはどういうことかというと、
極大値＞０かつ、極小値＜０ということになるのです。

極大値、極小値をとりうるｘの値は、（☆）を因数分解すれば、
（☆）={x-(a-1)}(x-1)
となりますので、x=a-1,1です。
この、１とa-1とを大小比較して、場合わけして極大値、極小値を求めましょう。

ちょっと、やってみますね。
１）a-1>1のとき（すなわち、a>2のとき）
このとき、増減表を書いてみると、

x　　・・・1　・・・・・・a-1　・・・・
------------------------------------------
f'(x)　　　0　　　　　　　0　　　　　　　
------------------------------------------
f(x)　　　f(1)　　　　　　f(a-1)　　
　　　　　極大　　　　　　極小

となりますね。
このとき、f(1)=4a-8>0これは、a>2を満たす

f(a-1)=2(a-1)^3-3a(a-1)^2+6(a-1)(a-1)+a+4
=(a-1)^2{2(a-1)-3(a-2)}+a-4
=(a-1)^2(-a+4)+(a-4)
=a(a-4)(a+2)
と、因数分解できるので、これがf(a-1)<0であるためには、a<-2,4<a
ただし、最初にa>2の場合を考えているので、このとき4<a
したがって、１）の場合は、4<a

２）a-1<1のときも同様に場合わけして、増減表から、aの範囲を出してみてください。
同じように考えてみてくださいね！

それでは、かなり難しいと思いますが、頑張ってください。

お礼

fushigichanさん、こんばんわ。
本当に分かりやすい説明ありがとうございました。
ｆ(ａ－１）を計算するのが大変そうですが。
頑張ってやってみます。
ありがとうございました。

回答No.2

hinebot

(1)について
f(x)を微分して
f'(x) = 6x^2-6ax+6(a-1)
f(x)が極値をもつ⇔f'(x)=0 が異なる実数解を持つ。
f'(x)を６で割って　x^2-ax+(a-1)=0 で考えても同じ。
この判別式　a^2-4(a-1)= a^2-4a+4=(a-2)^2≧０
よって、異なる実数解を持つ条件は(a-2)^2≠０　よって a≠2

(2)について
グラフを書いてイメージしてみましょう。
f(x)=0が異なる３個の実数解を持つのは
極大値＞０　かつ　極小値＜０　であれば良いわけです。
f'(x) = 6x^2-6ax+6(a-1) = 6(x^2-ax+a-1) =6(x-1)(x+a-1) ですね。
この因数分解に気が付くかがポイントかもしれません。
よって、極値をとるのは、x=1のときと、x=-a+1 のときです。
あとは、x=1 と x=-a+1 の大小関係によって場合分けし、f(1)とf(-a+1)を計算して、「極大値＞０　かつ　極小値＜０」の条件を考えるだけです。
頑張ってください。

お礼

hinebotさん、的確な説明ありがとうございました。
因数分解にはなんとか気がついたのですが、その後の
ｆ(-a+1)の計算がややこしく大変そうですが、
頑張って見ます。ありがとうございました。

回答No.1

oshiete_goo

f'(x)は２次式なので，f(x)が極値を持つ⇔f'(x)が符号変化することで，
その条件はf(x)が３次関数より，２次方程式f'(x)=0が異なる２実解をもつ・・・（＊）こと．
すると　D＝(a-2)^2>0　⇔　a≠２ (Dはa=2のとき０で，それ以外だと常に正)

または，因数分解に気づくともっと早い．　（＊）⇔a-1≠1　より　a≠２

これは（１）でf'(x)の因数分解に気づいていないとちょっと遠回り．
a≠２の条件の下に，f'(x)=0　の異なる２実解をα，β（α＜β）として，　
求める条件は　f(α)f(β)＜０　（増減を調べるとf(α)が極大値，f(β)が極小値）

これを解けばよい．
[実はf'(x)＝０の２解a-1，1を使えばもっと楽]

お礼

素早いお返事ありがとうございました。
これから頑張って考えて見ます。
ありがとうございました。