• ベストアンサー

極値を持つ条件（微分）について

極値を持つ条件（微分）について 『f(x)=x^3+ax^2+ax+1が極値をもたないように 　定数aの値の範囲を定めよ』 という問題の答えを f'(x)=3x^2+2ax+a=0 の判別式DについてD=4a^2-12a≦0であればいよいから 0≦a≦3/4と考えたのですが、 テキストの答え0≦a≦3に一致しません。 どこで間違っていますか？

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
noname#247928
noname#247928
回答No.2

4a^2-12a≦0 a^2- 3a≦0 a(a-3)≦0 　　∴0≦a≦3 考え方は合ってます。最後の計算でちょっとしたミスがありますよ。

tsukita
質問者

お礼

なるほど、肝心なところで計算間違いしちゃってるんですね。 ありがとうございました。 すっきりしました！

その他の回答 (1)

  • felicior
  • ベストアンサー率61% (97/159)
回答No.1

>> D=4a^2-12a≦0であればいよいから >> 0≦a≦3/4と考えたのですが 因数分解のミスです。 4a(a-3)≦0 ですからテキストの答え 0≦a≦3 で合っていますよ。

tsukita
質問者

お礼

なるほど、肝心なところで計算間違いしちゃってるんですね。 ありがとうございました。 すっきりしました！

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • 微分　極値をもつ条件

    極値をもつ条件、という題で出題されている問題なのですが、 ３次関数 f(x)=ax^3-6x^2+(a-1)x について、 つねに増加する時の定数aの値の範囲を求めろ、という問題で、 まず、f(x)を微分し、f'(x)>0であれば常に増加するというのは分かります。 しかし、解答を見ると、（判別式）<0であれば良いとが記されています。 常に増加する際に、判別式で虚数解を持てば良い、という部分が考えても分かりませんでした。 この点について何方か解説お願いします。

  • 数学の微分についてです。

    閲覧ありがとうございます。 問題で『ａを定数とする。関数f(ｘ)=２Ｘ＾2－３(ａ＋２)Ｘ＾2＋１２ａＸが極値をもつとき』 (１)ａが満たすべき条件を求めよ。 (２)f(ｘ)の極大値が３２となるとき、ａの値を求めよ。 なんですが、自分の答としては…極値があるなのでＤ／４＞０を使い、ａ＜０、２＜ａしたのですが、解答はａ≠２になっていました。 自分の解答『ａ＜０、２＜ａ』でもよろしいですか？ あと(２)なんかの場合は、(１)で出したａの値の範囲をそれぞれ別で求めればいいだけですか？

  • 極値をもつ条件

    　高等数学IIIについての質問です。 　関数 f(x)=x+1/x^2+2x+a について、f(x)が極値を持つようなaの値の範囲を求めよ。 　この問題について、まず f'(x)=0 となるようなxの値が存在するようにaの値の範囲を定めます。 　ちなみに f'(x)=-(x^2+2x-a+2)/(x^2+2x+a)^2 です。 　ここで、まず私は f'(x)=0 の両辺に -(x^2+2x+a)^2 を掛けて分母を払い（ついでに分子のマイナスも消去）、その後 x^2+2x-a+2=0 が実数解を持つような、つまり判別式Dについて D≧0 となるようなaの値の範囲（この場合a≧1となります）を求めましたが、実際は D=0 は含まれず、D＞0となるようなaの値（a＞1となります）を求めなければいけなかったようです。 　確かに D=0 、つまり a=1 の時 f(x)=1/x+1 となってしまい極値は持ちませんが、問題の解説では後でD≠0であることの確認をしているわけではなく、いきなりD＞0としているので、何か別の判断理由がありそうなのです。その理由はなんなのでしょうか。教えていただけたら幸いです。よろしくお願いします。

  • 微分の問題

    微分の問題なのですが ａを定数として、関数f(x)=2x^3-3ax^2+6(a-1)x+a-4とすると （１）f(x)が極値をもつのはaがどのような条件の時ですか？ （２）xについての方程式f(x)=0が異なる３個の実数解を持つのは 　　　aがどのような条件のときですか？ ちなみに（１）の答えが aキ2になるのですが 私は判別式を使って解いたのですが aキ2はでてきませんでした。 （２）は解答ではa＜0,4＜aです。 教えて下さい。お願いします。

  • 関数が極値を持つ条件

    極値を持つようにaの範囲を定める時、判別式Dを用いると思うのですが、なぜD≧0ではダメなのでしょうか？ 例えば y=x^3+ax^2+6x-3のaの範囲は、D≧0を用いるとa≧3√2、a≦-3√2ですが、解答には＝は入っていませんでした。

  • 極値の条件から関数決定

    ３次関数f(x)=ax^3+bx^2+cx+dがx=0で極大値2をとり,x=2で極小値-6をとるとき,定数a,b,c,dの値を求めよ。 教えてほしいところ この問題でa,b,c,dの値が求まった後、その値で本当に極値をとるのか見当する必要があるらしいんですが理解できません。 f`(α)=0→f(x)がx=αで極値をとる これがなり立たないのは理解できます。なぜなら,f`(x)＝０でD=0の可能性があるからです。 しかし、今回の問題ではf`(x)=0の解は２つあるという条件を組み込んでいるので、D=0の可能性は消えます。 つまり、f`(x)=0の解がα,βで（α>β)→f(x)がx=αで極値をとるということは成り立つはずです。 さらに、どちらが極大で極小をとるという保証もf(0)=-6,f(2)=0で十分なはずです。 よって逆の確認は必要ないのでは？？？ ご意見ください。

  • 微分の極値について

    教科書をみると。 関数f(x)画 x=aで極値をとれば　f´(a)=0 とあるのですが、何故、微分した関数の答えがゼロになるとその関数の極値になるのでしょうか、その理屈が理解できず困っています。是非、わかりやすくどなたか教えてください。よろしくお願いします。

  • 微分の関数の値の増減の問題です。

    関数f(x)=x^3-3ax^2+3x-4について、次の問いに答えよ。 （１）f(x)の値が常に増加であるように、aの値の範囲を定めよ。 （２）f(x)が極値をもつようにaの値の範囲を定めよ。 という問題で解説に (1)すべてのxについて、f`(x)≧0 f'(x)=3x^2-6ax+3だからf`(x)=0の判別式をDとすると、D=36a^2-36≦0より、-1≦a≦1 と書いてあります。 なぜD=36a^2-36≦0になるのかがどうしても理解できません。 (2)も 極値をもつためにはD＞0であればよい とあって、なぜなのか・・・・とない頭と回転させましたがわかりませんでした。どなたか解説をお願いします。

  • 極値をとるa,bを求める問題について教えてください

    関数f(x) = x / (x^2 + ax + b) がx=1で極大値1/2　をとるという。　このとき定数a,bの値を求めよ。 この問題が全然わかりません。 極値を求めろ　ということは微分してf '(x)を求めて、 それが1/2になるようにすればいいのでしょうか？

  • ・微分の問題です

    3次関数F(X)＝2/3X^3－(4a＋1)/2X^2＋2aXについて、F(X)が極値を持つための条件を求めよ。 …という問題で、私の解答は 極値を持つときはF'(X)＝0が異なる2つの実数解を持つときなので F'(X)＝2X^2－(4a＋1)X＋2aを求めて、 判別式Ｄ＝(4a－1)^2>0 より、a>1/4 と、求めたのですが 答えはa≠1/4です。 どこを間違えたのか教えてください。お願いします。

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する