微分の関数の値の増減の問題です。

質問

関数f(x)=x^3-3ax^2+3x-4について、次の問いに答えよ。
（１）f(x)の値が常に増加であるように、aの値の範囲を定めよ。
（２）f(x)が極値をもつようにaの値の範囲を定めよ。

という問題で解説に
(1)すべてのxについて、f`(x)≧0
f'(x)=3x^2-6ax+3だからf`(x)=0の判別式をDとすると、D=36a^2-36≦0より、-1≦a≦1

と書いてあります。
なぜD=36a^2-36≦0になるのかがどうしても理解できません。

(2)も

極値をもつためにはD＞0であればよい

とあって、なぜなのか・・・・とない頭と回転させましたがわかりませんでした。どなたか解説をお願いします。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

（１）
ｆ（ｘ）が常に増加であるためにはｆ’（ｘ）＞＝０　であることはＯＫですか？
ｆ’（ｘ）＞＝０であるということは、ｆ’（ｘ）＝０という方程式が実数解を持たないか、重解を持つということであることは如何ですか？
　グラフで考えてみると、ｆ’（ｘ）＞＝０であるときｙ＝ｆ’（ｘ）のグラフはｘ軸と共有点を持たないか、ｘ軸に接することになるでしょ？

（２）
ｆ（ｘ）が極値を持つということは、
　（あ）ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフの傾きがゼロになる点が存在すること
　（い）上記の点の前後でｙ＝ｆ（ｘ）のグラフの傾きが正⇒ゼロ⇒負（あるいは負⇒ゼロ⇒正）と変化すること
の両方が必要です。（あ）については方程式ｆ’（ｘ）＝０が少なくとも一つの実数解をもてばいいことになります。（い）については、ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフの傾きがゼロになる点の前後でｆ’（ｘ）の符号が正⇒負、あるいはその逆向きに変化することが必要となります。ｙ＝ｆ’（ｘ）のグラフを書いたとき、グラフがｘ軸に接しているだけではこのような事は起こらず、ｘ軸と二点で交わることが必要になります。すなわち方程式ｆ’（ｘ）＝０が異なる二つの実数解を持つ、言い換えればＤ＞０ということですね？

お礼

わかりました！
ありがとうございました！

回答No.2

ferien

関数f(x)=x^3-3ax^2+3x-4について、次の問いに答えよ。
（１）f(x)の値が常に増加であるように、aの値の範囲を定めよ。
（２）f(x)が極値をもつようにaの値の範囲を定めよ。

という問題で解説に
>(1)すべてのxについて、f`(x)≧0
>f'(x)=3x^2-6ax+3だからf`(x)=0の判別式をDとすると、D=36a^2-36≦0より、-1≦a≦1
>
>と書いてあります。
>なぜD=36a^2-36≦0になるのかがどうしても理解できません。

f'(x)=3x^2-6ax+3は２次関数なので、それが解をもつときの条件について考えていけばいいと思います。

>f(x)の値が常に増加であるように　だから、
f(x)が単調増加であるための条件は、すべてのxについて、f`(x)≧0
２次関数f`(x)が　すべてのxについて、f`(x)≧0　となる条件は、判別式Ｄ≦０

>(2)も極値をもつためにはD＞0であればよいとあって、なぜなのか・・・・
f(x)が極値をもつように　より、極値を求めるときは、f`(x)=0とおいて解を求めるから、
２次関数f`(x)が解を持たなければならない。その条件（異なる２解）は、判別式Ｄ＞０

f`(x)は２次関数だから、それについて条件を考えるのだと頭を切り換えるようにすればいいのではないかと思います。