極値をとるための必要十分条件について。

質問

関数f(x)=x^4+ax^3+bx^2がx=0で極値をとるための必要十分条件はb≠0またはa=b=0であることを示したいとき。

【自分の解答】
f'(x)=x(4x^2+3ax+2b)…(1)
題意より(1)の符号がx=0の前後で変化すればよい。
g(x)=4x^2+3ax+2bとして、g(x)=0の判別式をDとする。
(1)よりg(x)の符号がx=0の前後で変化しなければよい。
それはy=g(x)のグラフがx=0でx軸と交わらなければよいので、
g(0)≠0またはD≦0
これより、
b≠0または9a^2-32b≦0

となり示せません。
何が間違っているのでしょうか？

ちなみに模範解答では求める条件は
「g(0)≠0」または「g(0)=0かつD=0」
となっています。

自分の解答だと、どの部分を余分に考えてしまっているのかわかりません。

また必要十分条件を求める問題のときはどのようにしたら漏れ無く条件を求められるんでしょうか？
考え方のコツなどあれば回答願います。

宜しくお願いします。

回答No.5

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk） · ベストアンサー

追加で。

十分性をよく理解していな人が多いので。
b≠0またはa=b=0であれば、関数f(x)=x^4+ax^3+bx^2がx=0で極値をとる
という言い換えをして示せれば、十分性を示せたことになります。

違いはわかりますか？

お礼

みなさん回答ありがとうございました。

回答No.4

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

>「D≦0」のときって「D=0かつg(0)=0」のときも含みますよね？
問題ではx=0の点しか見ていないので、先にD≦0が出てくるのではなく、g(0)≠0かg(0)=0かの議論がまずくるべきです。

>加えて「D<0」のときは絶対(1)の符号がx=0の前後で変化するので間違ってなくないでしょうか？
判別式がg(x)のものであることをきちんと認識していればOKです。

回答No.3

noname#165385

質問者さんは解答の4行目でg(x)の符号がx=0の前後で変化しなければよいと書かれています。ここまでは合っていると思います。しかし、5行目の段階で１つ見落としがあります。それは、y=g(x)のグラフがx=0でx軸と交わっていてもg(x)の符号が変化しない場合があるということです。どういう場合かといいますと、g(x)がx=0でx軸と接する場合です。このようになるための条件は、模範解答にある「g(0)=0かつD=0」であることはおそらく分かると思います。
　また、x=0でx軸と交わらない場合ではD≦0という条件は必要ないかと思われます。というのも、g(x)は２次関数ですから、D>0であってもx=0の前後ではその符号は変わらないからです。簡単な図を描いてみると分かりやすいと思います。これより必要な条件は「g(0)≠0」のみとなります。
　つまり、x=0でx軸と交わるということは原点を通るということですから、y=g(x)のグラフが原点を通るときと通らないときで場合分けすればいいわけです。あと、分かっているかもしれませんが、この問題は必要十分条件であることを示す問題ですので、最後に十分性の確認も忘れないようにしてください。

回答No.2

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

>それはy=g(x)のグラフがx=0でx軸と交わらなければよいので

この条件は、ある点での条件ですので、判別式で解の個数を絞るような条件は必要有りません。

>g(0)=0かつD=0

もしg(0)=0であれば、その前後で符号が変わらないのはD=0の重解の時のみです。(g(0)=0の時D>0となならない)

補足

「D≦0」のときって「D=0かつg(0)=0」のときも含みますよね？
加えて「D<0」のときは絶対(1)の符号がx=0の前後で変化するので間違ってなくないでしょうか？
手間を取りますが宜しくお願いします。

回答No.1

Tacosan

いや, 本質的には同じだね.

「g(0)≠0 または D≦0」って, 結局「g(0)≠0 または『g(0)=0 かつ D≦0』」と同じでしょ?

補足

ごめんなさい……
なんで同じになるのかわかりません。
その説明もお願いしたいです。