等速円運動；束縛条件

質問

質量mの自動車が水平面で、半径rの円周（すり鉢状）上を速さvで走行している。
すり鉢状は角度θだけ傾けている。
tanθ を g,r,v を用いて表せ。　（図を参照願います。）

私は円運動を考える際は、変に遠心力を用いないようにしています。
（つまり、不用意に運動物体に乗らないようにしています。）

そこで本問の束縛条件を考えるのですが、向心力、遠心力によってtanθの値が変わってしまいます。
ぜひ下図を参照してください。
向心力（静止系）：tanθ=mg/{m*(v^2/r)} 　（これは間違い）
遠心力（非慣性系）(自動車に乗っています)：tanθ={m*(v^2/r)}/mg （これが正解）

しばらく考えてみてもなにが間違っているかに気づくことができませんでした。
ご指摘お願いします。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

まずは自動車にかかるすべての力を書き込んでみましょう。
摩擦などを無視すると次の二つの力が働いていることが分かります。

・重力:下向きにmg
・垂直抗力：面に垂直な方向にN

質問者の図にはこのNが入っていませんね。これが重要です。

まず静止系で考えてみましょう。

静止系では自動車には上記の二つの力しか働いていません。
この二つの力だけで円運動を持続するためにはこの二つの力の合力が向心力となる必要があります。
図を書けば分かりますがmgとNの合力は水平方向にmv^2/r,上向きに0となります。
N*sinθ=mv^2/r (1)
N*cosθ-mg=0　→ N*cosθ=mg (2)

(1)の式を(2)の式で割ると
tanθ=mv^2/r/(mg)
となります。

次に自動車とともに動く系で考えてみましょう。
この系では自動車に遠心力mv^2/rが働きます。
この系では自動車は静止していますので自動車に働く力の合力は"0"になります。
重力mg,垂直抗力N,遠心力mv^2/rの合力を考えると
水平方向：N*cosθ-mv^2/r=0 →　N*sinθ=mv^2/r (1)
鉛直方向：N*cosθ-mg=0　→ N*cosθ=mg (2)
と静止系と同じ式が得られます。

お礼

回答ありがとうございます。

問題集の解説では見かけの重力で考えていたので、いろいろと混乱してしまいましたが、
いつも通り立式すれば、求められるのですね。

非常に詳しい解説感謝します。