円運動・力のモーメント

質問

(1)等速円運動においては(rベクトル)^2と(vベクトル)^2は一定なのはどうしてですか？
(2)剛体が静止しているときのある点の周りの力のモーメントは0となるのはなぜですか？
(3)太陽の周りの惑星の運動では、GMm/r^2=mrω^2が成り立ちますが，右辺は向心力ですか遠心力ですか？

回答No.3

sanori · ベストアンサー

（１）
円の方程式は、半径をｒ、円の中心を（ｘ0，ｙ0）と置いて
（ｘ－ｘ0）^2 ＋ （ｙ－ｙ0）^2　＝　ｒ^2
と表されますよね。

円の中心が（０，０）になるように平行移動すれば、
ｘ^2 ＋ ｙ^2　＝　ｒ^2
にできます。
これを極座標で書けば
（ｒx ＝）ｘ＝ｒsinθ
（ｒy ＝）ｙ＝ｒcosθ
ｒx^2 ＋ ｒy^2　＝　ｘ^2 ＋ ｙ^2 ＝　ｒ^2
ですから、ｒベクトルの２乗は半径ｒの長さ（一定）ですね。

等速円運動なので、θは時刻ｔの一次関数です。
そこで、θ＝ωｔ＋Ｃ　（ω、Ｃは定数）と置けば、dθ/dt ＝ ω なので、
ｖx ＝ dx/dt ＝ dx/dθ・dθ/dt ＝ ｒω cosθ
ｖy ＝ dy/dt ＝ dy/dθ・dθ/dt ＝ －ｒω sinθ
よって、
ｖ^2 ＝ （ｒω cosθ）^2 ＋ （－ｒω sinθ）^2
　＝（ｒω）^2　（＝　一定）
ｖ　＝　ｒω

ちなみに、もう１回ｔで微分すれば加速度になります。
ａx ＝ dｖx/dt ＝ dｖx/dθ・dθ/dt ＝ －ｒω^2 sinθ
ａy ＝ dｖy/dt ＝ dｖy/dθ・dθ/dt ＝ －ｒω^2 cosθ
ａ^2　＝　（ｒω^2）^2　（＝　一定）
ですから、向心加速度はｒω^2、向心力は、ｍｒω^2 です。

（２）
理由はありません。実際にそうなっているから、後付けで理論や式ができただけのことです。
あるいは、逆に考えてください。
力のモーメント（の合計）がゼロでなければ、その剛体は角加速度のある回転をします。
静止している物体にかかっている力（の合計）がゼロであることが、自然と考えられるのと同じです。

（３）
向心力です。
（遠心力は、向心力と符号が逆で、絶対値が同じです。）
この式は、向心力が２体の質量に比例し（＝万有引力）、および、中心からの距離の２乗に反比例することを表した式です。

お礼

ありがとうございました。

回答No.5

noname#58790

＃３様のように＝（等しい）と考えてくれ。
いつも素晴らしいです。

万有引力＝向心力
惑星が公転出来る向心力と、万有引力は等しい。

０にされると運動方程式の意味がなくなると思う。

お礼

ありがとうございました。

回答No.4

BookerL

すでに回答がいくつもありますので、違った感じのものを。
(1)「等速」だから速さが一定→vの絶対値が一定→v^2 が一定
　　「円」だから半径が一定→rの絶対値が一定→r^2 が一定

(3)惑星に固定した座標で考えると「遠心力」。この遠心力が左辺の万有引力とつりあっている。
慣性系で考えると「向心力」。万有引力が向心力となっている。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

noname#58790

Ｖｘ＝－ｒωｓｉｎ（ωｔ＋α）
Ｖｙ＝－ｒωｃｏｓ（ωｔ＋α）

Ｖ＾２＝Ｖｘ＾２＋Ｖｙ＾２
Ｖ＾２＝ｒ＾２ω＾２

ａ＝ａｘ＾２＋ａｙ＾２
ａ＝－ω＾２ｒ
なので
Ｆ＝ｍａ→Ｆ＝ｍω＾２ｒ　

とうそくえんうんどうは「向心力。」＾＾；

力のモーメントが「０で」つりあうのはー、
置いてある時。

＝で考えてくれ。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

joggingman

(1)
等速円運動において、r↑は、大きさがR（一定の半径）、
向きが中心と運動体を結ぶ半径方向のベクトルです。
|r↑|＝R　なので、|r↑|^2=R^2(一定）
ｖ↑は、一定の大きさV（速さ）で、向きが運動の接線方向のベクトルで、
|v↑|=V　なので、|v↑|=V^2(一定）
となります。

(2)　ある点の周りの力のモーメントが０でないと、その点の周りに
剛体は回転します。

(3)
左辺は万有引力だから向心力、
右辺は遠心力です。向心力と遠心力がつりあっているという式です。

お礼

ありがとうございました。