極限の問題

質問

lim[n→∞]ｎ/3＾ｎ

の極限値を求めたいのですが、
解きかたを教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.1

ONEONE · ベストアンサー

発散の速度がnより3^nのほうが速いので0になる。
ってのはだめか。

二項定理より
3^n = (1 + 2)^n ≧ 1 + 2n + n(n-1)
0＜ 1/3^n ≦ 1/(1 + 2n + n(n-1))
0＜ n/3^n ≦ n/(1 + 2n + n(n-1)/2) = 1/{(1/n) + 2 + (n-1)}
nを無限に飛ばせばはさみうちの原理から0に収束しますね。

(1+h)^n≧1 + nh + {n(n-1)/2}h^2からlim[n→∞]n*x^n = 0
を示すような問題があります。

参考URL：

http://www.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?q=564678

お礼

ご回答ありがとうございます。
よくわかりました。
参考にさせていただきます。

回答No.2

stomachman

nって自然数のことですね？数列{n/(3^n)}がn→∞で行き着く先は？という問題。

●n＞0のとき、n/(3^n)＞0です。つまり、この数列は0より小さくはなれません。
●n＞0について、(n+1)/(3^(n+1)) と n/(3^n)の比を計算してみますと
( (n+1)/(3^(n+1)) ) / ( n/(3^n) )
=(n+1)(3^n)/(n(3^(n+1)))
=(n+1)/(3n)
=1/3+1/(3n) ≦2/3
です。
●またn=1のときにはn/(3^n)=1/3≦2/3

ゆえに、
n＞0について0＜n/(3^n)≦(2/3)^n
そして、
n→∞のとき{(2/3)^n}→0
はワカッテルとしますと、
n→∞のとき{n/(3^n)}→0

お礼

ご回答ありがとうございます。

ｎって自然数です！定義は大事ですよね。かかなくってすみません。

参考にさせていただきます。
ありがとうございました。