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極限の問題
かなり基礎の問題だと思うんですが、解けません(;;) (1)lim(n+1)×(n-2)÷(n+3) n→∞ (2)lim(n+1)÷(√2n+1) n→∞ (1)(2)の極限がどうして∞になるのかわかりません。 わかりやすく解説して欲しいです。 (3)2のn乗>{n(n-1)}÷2 を用いて、 lim n÷2のn乗 =0 n→∞ を証明するのですが、解答を見ると、 2のn乗>{n(n-1)÷2} の式を変形すると、 2 n --- > ---- > 0 n-1 2のn乗 と書いてあります。どうやって変形したのか途中の式を 教えてください。
- tidori
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- liar_adan
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とりあえず(1)を。 (n+1)(n-2)は、(n+3)(n-4)+10と変形することができます。 すると(n+1)(n-2)/(n+3)={(n+3)(n-4)+10}/(n+3) =(n+3)(n-4)/(n+3) + 10/(n+3) =n-4+10/(n+3) …まあこのように変形していきます。 このうち右の項、10/(n+3)は、nが大きくなればほとんど0になります。 n>0の条件では4以下です。 さて、「無限大になる」というのは、 「どんな大きな数を持ってきても、『nがある数X以上ならもっと大きいよ』と 言えるような数Xを見つけることができる」ということです。(習いましたよね) たとえば「大きな数」として10000を取ってみると 今変形した式で考えれば、 「n-4+10/(n+3)の第2項、第3項を考えたとしても、 nが10004より大きければ、式の値はぜったい10000よりは大きくなる」 ということが言えます。 これはどんな大きい数を持ってきても、それに対するXを 見つけ出せることはわかるでしょう。 (具体的にはXを「大きな数」+4ととればだいじょうぶ) こういうのを証明せよと言われた場合は、適当に変形して「大きな数」と 「それに対するXの取り方」の関係を見やすいようにしてやります。 (2)の方はルートが出てくるのでこれよりは難しいけれど、考え方はおなじです。 後半の問題は、単なる分母と分子の移項です。 なお、n<1のとき、変形した方の式は成り立たなくなりますが、 無限大を考えるときは「nの大きい方で考えてよい」という 暗黙の約束があるので、それが省略されていると考えてください。
- guowu-x
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(1)分母分子をnで割ると (n+1)(n-2)=n^2-n-2より (n+1)(n-2)/n+3={n-1-2/n}/{1+3/n} n→∞のとき 2/n→0,3/n→0 そして分子のn-1が無限大になるので極限は∞となります。 (2) (1)と同様に今度は√nで分母分子を割ると極限は∞になります。 やってみてください。 (3)2^n>n(n-1)/2から2^n/n-1>n/2 ここで,2^n>2なので 2と2^nを入れ替えても大小関係はそのままで2/n-1>n/2^nが成り立つ。
- mmky
- ベストアンサー率28% (681/2420)
参考程度に (1)lim(n+1)×(n-2)/(n+3) n→∞ 数1,2,3より十分大きな数nを考えると、 →lim {n^2/n}=lim {n}→∞ n→∞ 記号にとらわれないで、具体的な数を入れてみればいいんです。 n=100, とすれば、 (101)(98)/(103)≒100 もっと大きな数の場合は、どんどん大きな数のなるよね。 (2)lim(n+1)÷(√2n+1) n→∞ (2)は式が少し不透明ですが以下で正しいとすると(1)と同じ、 nが1より十分大きいと、 (n+1)÷(√(2n)+1)→√n/√2 n→∞、√n/√2→∞ (3)2のn乗>{n(n-1)}÷2 を用いて、 2^n>n*(n-1)/2 2*2^n>n*(n-1) {2*2^n/(n-1)}>n {2/(n-1)}>n/2^n lim[n→∞]{2/(n-1)}→0 故 lim[n→∞]{n/2^n}→0 証明は論理だってさえあればいいんです。 参考程度まで
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