極限値の問題です

質問

以下の極限値を求める計算をしたのですが、
あっているか自信がありません。
詳しい方がいらっしゃいましたら、ご指導お願いします。

【問題】
一般項anが、次で与えられる数列{an}について、個々の収束・発散を調べ、収束する場合にはその極値を求めよ。

(1) 2^n

(答)lim[n→∞] 2^n = ∞より、発散する。

(2) (2n^2+1)/(n^2+3)
(答)lim[n→∞] (2n^2+1)/(n^2+3)
=lim[n→∞] {2(n^2+3)-5}/(n^2+3)
=lim[n→∞] { 2(n^2+3)/(n^2+3) - 5/(n^2+3) }
=lim[n→∞] { 2 - 5/(n^2+3) }
より、2に収束する。

(3) √(n+1)-√n
(答)lim[n→∞] √(n+1)-√n
=lim[n→∞] {(√(n+1)-√n)(√(n+1)+√n)}/(√(n+1)-√n)
=lim[n→∞] (n+1-n)/(√(n+1)-√n)
=lim[n→∞] 1/(√(n+1)-√n)
また、lim[n→∞] 1/n = 0より、
√(n+1)-√nは、0に収束する。

以上、よろしくお願いします。

回答No.1

25no12 · ベストアンサー

（１）、（２）は合ってます。
（３）は、「０」は正しいですが、（答）の２行目から間違ってます。

(a-b)(a+b)/(a+b)
=(a^2-b^2)/(a+b)
=1/(a+b)
(a,bがそれぞれ√(n+1),√n
ですね。
まあ、ケアレスミスの類いのようですが。

お礼

早速のご指摘ありがとうございます。
おっしゃるとおり、転記するときに間違えたようです。
確認ありがとうございました。