数三の数列の極限値の性質について

質問

数列の極限値の性質に
数列{An}{Bn}が収束して
lim An=α　lim Bn=β(ここに書くlimの下にはすべてｎ→∞があると考えてください）
とするlim An/Bn＝αβとあり、
この法則を使って
lim √(n+2)-√n/√(n+1)-√n
を解こうとしました
で、lim √(n+2)-√n＝0となったので
lim √(n+2)-√n/√(n+1)-√n=0
としたのですが、答えは2です
この考え方はどこがいけないのかわからないので
わかる方教えてもらえませんか?

回答No.3

owata-www · ベストアンサー

＞有理化する際のポイントみたいなのってありますか?
ポイントと言えるかどうかは分かりませんが、0/0or∞/∞の形にならない所まで（つまり、定数にできる所まで）やればOKです（そのために有理化するのですから）。

今回は
lim [n→∞]{√(n+2)-√n}/{√(n+1)-√n}
のままの形では、0/0の形でダメです。そして、有理化していって
lim[n→∞] 2/1×{√(n+2)+√n}/{√(n+1)+√n}
これは有理化する必要はありません。なぜなら
lim[n→∞] {√(n+2)+√n}/{√(n+1)+√n}
=lim[n→∞][n*{√(1+2/n)+√1}]/[n*{√(1+1/n)+√1}]
=lim[n→∞] n/n(=1)*{√(1+2/n)+√1}/{√(1+1/n)+√1}
=1
となります。

正直、これはある程度経験が必要だと思いますが、無理数なら大体足し算が出てくればＯＫです。

お礼

ありがとうございます
もっと問題を解いていって経験積んでいこうと思います
丁寧に解説していただいてありがとうございました

回答No.2

owata-www

lim [n→∞]√(n+1)-√n＝0なので0/0の形となり、このままでは解けません。

解くには有理化です。
lim [n→∞]{√(n+2)-√n}/{√(n+1)-√n}
=lim[n→∞]{√(n+2)-√n}{√(n+2)+√n}/{√(n+2)+√n} ×{√(n+1)+√n}/{√(n+1)-√n}{√(n+1)+√n}
=lim[n→∞][{√(n+2)}^2-(√n)^2]/{√(n+2)+√n} ×{√(n+1)+√n}/[{√(n+1)}^2-(√n)^2]
=lim[n→∞] 2/1×{√(n+2)+√n}/{√(n+1)+√n}
=lim[n→∞] 2/1*n/n*{√(1+2/n)+√1}/{√(1+1/n)+√1}
=2
です。

補足

有理化する際のポイントみたいなのってありますか?
有理化を止めるところがどこかがあまりよくわからないのです・・・
最後から二番目の式の
lim[n→∞] 2/1×{√(n+2)+√n}/{√(n+1)+√n}
も有理化していかなくていいのかと考えてしまうのです。

回答No.1

masa072

性質を勘違いしています。
分母の{Bn}が0に収束しないことが必要です。
また，∞－∞は0ではありません。
従って分子・分母両方を有理化することが必要です。

お礼

教科書に書いてる解説って結構
適当なのが多いんでしょうかね(汗
回答ありがとうございました