極限問題に挑戦！
- 極限の問題で、無限大に向かう数列の和を求める方法についてアドバイスを求めています。
- 数列の和を求める際に有理化を試みましたが、うまく展開できませんでした。どなたか助言していただけると助かります。
- 極限の問題に挑戦していますが、どのように数列の和を求めたら良いかわかりません。アドバイスをお願いします。
- ベストアンサー
極限の問題です
lim[n→∞]1/√(n){1/√(n+1)+1/√(n+2)+・・・+1/√(2n)}という問題です。 私は lim[n→∞]1/√(n){1/√(n+1)+1/√(n+2)+・・・+1/√(2n)} =lim[n→∞]1/√(n){1/√(n+1)+1/√(n+2)+・・・+1/√(n+n)}なので、ヒントを得るために、 n=1の時、1/√(1){1/√(1+1)}=1*{1/√(2)}=1/√(2) n=2の時、1/√(2){1/√(2+1)+1/√(2+2)}=1/√(2){1/√(3)+1/√(4)} n=3の時、1/√(3){1/√(3+1)+1/√(3+2)+1/√(3+3)}=1/√(3){1/√(4)+1/√(5)+1/√(6)} のように考え、和を求めてから有理化もしてみましたが、極限を求められるような展開ができませんでした。 どなたかアドバイスをいただければと思います。宜しく願い致します。
- SATA_YUKI
- お礼率50% (107/212)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数2
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
高校の数学だと, この手の極限に対して なんとかして 1/n をくくりだして区分求積法から定積分にもちこむ というのが常套手段だったりします. 今の場合前にあるのが 1/√n なので, どこかから 1/√n を調達してやります. ということで式を見てみると, ちょうど後ろの {...} から 1/√n をひきぬくことができますね.
関連するQ&A
- 極限の問題なんですが
極限値 lim[n→∞]{1√1+2√2+・・・+n√n}/(n^2*√n} を求めよ。 という問題なのですが、√n=kとおいて lim[k→∞]{√1^3+...+k^3}/k^5 としたとき、数列の和の公式に{1^3+...+k^3}={k(k-1)/2}^2 というのがあったと思いますが、これより lim[k→∞]{1^3+...+k^3}/k^5=0 で、 1^3+...+k^3}/k^5 > {√1^3+...+k^3}/k^5 から lim[k→∞]{√1^3+...+k^3}/k^5=0 これを答えとしてよいのでしょうか？間違っていたら指摘してください
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学III 極限の問題について
極限が全然わかりません。 解説を見ると、 lim {1/(n+2)^(1/2)-n^(1/2)} は分母の有理化して計算して、 lim {n/(n^2+2)^(1/2)-n^(1/2)} は有理化せずに全ての数をｎで割って計算をしていました。 形はほとんど違わないのに、なぜ計算方法が違うのでしょうか？ また、どういう場合に有理化をするのか教えてください。 学校の授業では、∞－∞をなくしなさいとしか言われてなく、 説明がなくて、全然わかりません。 おねがいいします<(_ _)>
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数IIIの極限の問題
教科書の章末問題レベルですが、どうしても解けないんです！！ lim[n→∞]{(√n+2)-(√n-1)/(√n+1)-√n} 模範解答では「収束して極限値は3になる」となっているのですが、自分がやってみたら0になってしまいました... 分母・分子とも有理化して解いたのですが、うまくいきません。 低レベルな質問で恐縮ですが、どうかご教示ください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 数列の極限
（１）lim[n→∞]a~1/n＝lim[n→∞]n√aを求めよ。 ただし、a＞1。a~1/nはaの1/n乗 n√aは、n乗根と思ってください。 （２）数列An｛(1+2+・・・+n)/(n~2)｝の極限を 求めよ。 （３）級数 1/(1・2)＋1/（2・3)＋・・・ ＋1/{n(n+1)}＝Σ[n=1→∞]1/｛n(n+1)｝の和を求めよ 以上の３問です。 大学生なんですが、教科書読んでもよく 分からなかったので、これを解く上で必要な知識や、 ヒントなど教えてもらえませんか？ あと、高校までの知識でこれ解けますか？ （１）は、高校ではnじゃなくxがほとんどだった 気がするんで、なんか混乱してます。 （３）は高校の問題集に似た問題があったので、 それで良いのかなと思ったんですが・・・。 その問題集の考え方には、初項から第n項までの 部分和Ｓnを考えて、Ｓ＝lim[n→∞]Snにより求める と書いてあります。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極限値問題
極限値問題 lim[x→∞]（1+(1/x)）^x=eを使って、lim[x→-∞]（1+(1/x)）^x=e を示せという問題なのですが、どのように解けば良いのでしょうか？ 以前、lim[n→0]（1+n）^(1/n)=eの証明について質問させて頂きました。 証明は理解できました。 その時、lim[n→-0]（1+n）^(1/n)=eも成り立つと言うご回答を頂きました。 (1/x)=nとおけば、lim[n→-0]（1+n）^(1/n)と出来きます。 lim[n→+0]（1+n）^(1/n)=lim[n→-0]（1+n）^(1/n)がなぜ成り立つか証明 できませんので、教えて下さい。 感覚的には分かるのですが、式変形などで成り立つことが証明できないものでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列の極限についての問題で・・・
いつもお世話になっています。今 “ 数列{a_n}に対して lim_(n→∞) a_{2n} = lim_(n→∞) a_{2n-1} = α なら lim_(n→∞) a_{n} = α を示せ ” という問題に取り組んでいるんですが、当たり前のような気がするだけで、どうやって示せばよいのか分かりません。 苦し紛れに lim_(n→∞) (a_{2n} - a_{2n-1}) = 0 と変形して、極限の定義通り ∀ε>0, ∃N; |a_{2n} - a_{2n-1}| < ε (n≧N) と書き換えてみました。最後の式には「おっ」と思ったんですが、それ以上はどうしようもありませんでした。 宜しければ、解法へのヒントなど頂けませんでしょうか。 お願いします<m(_ _)m>
- ベストアンサー
- 数学・算数
補足
Tacosan様ありがとうございます。 一応「定積分」は知ってますが・・・。定積分を活用するのでしょうか？