- ベストアンサー
積分の問題
∫_2^3 √(x^2+2x-8)dx ∫_3^4 √{(x^2)-9}dx の値を求めたいのですがどうすればいいのでしょうか? やり方に手間取っています。 よろしくお願いします。
- remonfuru-tu
- お礼率7% (4/56)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 (1)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
最初の問題は,根号内を平方完成すれば ∫√(x^2+2x-8)dx=∫√((x+1)^2-9)dx となり,t=x+1とおけば,後の問題に帰着することができるので,後の問題だけを考えることにします.また問題は定積分ですが,ここでは不定積分を求めることにします.(あとは上限と下限を入れればいいので) 一般に,f(x^2±a)型の積分は, u=tan(x) or u=cot(x) とおくのが定石ですが,f(√(x^2±a))型の積分の場合は,少々天下り的ですが u=x+√(x^2±a) とおくのが上手いやり方です. (最初の置換でもできますが,計算量が非常に多くなります.(経験者談)) u=x+√(x^2-9) ---(1) とおく.これをxについて整理すると, x=(1/2)*(u+9/u) ---(2) x^2-9=(1/4)*(u-9/u)^2 ---(3) となる.また(1)を微分すると, du=dx(1+x/√(x^2-9))=dx u/√(x^2-9) ---(4) となる.よって, ∫√(x^2-9)dx =∫(x^2-9)/u du (∵(4)より) =(1/4)*∫(u-9/u)^2/u du =(1/4)*∫(u-18/u+81/u^3)du =(1/8)*(u^2-81/u^2)-(9/2)*log(u) + const =(1/8)*(u+9/u)(u-9/u)-(9/2)*log(u) + const =(1/8)*2x*2(x^2-9)-(9/2)*log(x+√(x^2-9)) + const (∵(2)(3)より) =(1/2)*x(x^2-9)-(9/2)log(x+√(x^2-9)) + const (∵(1)より) となります.
関連するQ&A
- 定積分の問題です 教えてください。
∫x^2/(1+x^4)dxでxが0から∞まで変化するときの値を求めたいのですがよくわかりません。 どなたかご教授いただけないでしょうか? よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分問題
A=∫[0→π/2](sin^3x)/(sinx+cosx)dx B=∫[0→π/2](cos^3x)/(sinx+cosx)dx (1)A+Bを計算せよ。 (2)AとBが等しいことを示せ。 (3)Aの値を求めよ。 (1)A+B=∫[0→π/2]{(sin^3x)+(cos^3x)}/(sinx+cosx)dx =∫[0→π/2](1+sinx+cosx)/(sinx+cosx)dx =∫[0→π/2][{1/(sinx+cosx)}+1]dx =∫[0→π/2][{1/√2sin(x+π/4)}+1]dx =[0→π/2][1/{√2log tan(x/2-π/8)}+1]dx =1/{√2log tan(π/8)} + π/2 - 1/{√2log tan(-π/8)} =(2/√2)log tan(π/8) + π/2 になったのですがこのような方法でよろしいのでしょうか? (2)に関しては、どのようにして行ってよいのかわかりません。 (3)もどうようにわかりません。 教えて頂けないでしょうか? よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 広義積分の問題を教えて下さい
次の問題の答えを教えて下さい。 1.次の広義積分を求めよ。ただし、r,kは正の定数とする。 (a)∫(rから∞)dx/x^2 (b)∫(0からr)dx/√r-x (c)∫(-∞から0)e^(kx)dx (d)∫(0から1)dx/x^2の三乗根 (e)∫(1から∞)dx/x(1+x) (f)∫(0から1)√(x/1-x)dx 2.次の広義積分を求めよ。 (a)∫(-1から1)dx/x (b)∫(-1から1)dx/x^2 (c)∫(-∞から∞)dx/x^2+1 3.広義積分I=∫(0からπ/2)log(sinx)dxの値を、次のようにして求めよ。 (a) I=∫(π/2からπ)log(sinx)dx=∫(0からπ/2)log(cosx)dxが成り立つことを示せ。 (b)x=2tとおいて2I=∫(0からπ)log(sinx)dxの値を計算することによって、I=-(π/2)log2であることを示せ。 4.s>0として、ガンマ巻数Γ(s)=∫(0から∞)e^(-x)x^(s-1)dxについて式Γ(s+1)=sΓ(s)が成り立つことを示せ。 5.p>0,q>0として、ベータ関数Β(p,q)=∫(0から1)x^(p-1)(1-x)^(q-1)dxについて式Β(p,q)が成り立つことを示せ。 お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数