微分積分の問題です

質問

以前質問したことがある問題がありますが、どうしても分からないので途中式も含め教えて下さい

(1)次の関数について（）内の点における値と微分係数を求めよ
(1)y=Sin^-1 x/2 (x=1)
(2)y=(Tan^-1x)^2 (x=-1)

(2)次の関数の第二次導関数を求めよ
y=2(x-1)e^x

(3)次の定積分の値を求めよ
(1)∫上が1下が-1 (x＋1)/(x^2＋1)dx
(2)∫上が2π下がπ sin｛(x-π)/3｝dx
(3)∫上が4下が0 (x-1)√（2x＋1）dx

宜しくお願いします。

回答No.3

alice_44

この手の質問に、答えを書くなよ…

(1) 逆関数の微分係数に関しては、dy/dx = 1/(dx/dy) であることを覚えとく。
　　( )内の点が y=何 かを求めて、dx/dy を計算すれば ok。

(2) 単に、二回微分する。
　　それが計算できないのなら、「積の微分公式」とは何かを調べる。

(3) 置換積分の頻出パターン。 こういうのは、脳を使わず、脊髄反射で解く。
　　(1) x = tanθ
　　(2) (x-π)/3 = y
　　(3) √(2x+1) = y　で置換

回答No.2

info22_

沢山の問題を並べて丸投げしてませんか？
宿題、課題等ならマナー違反ですよ。

(1)の何が分からない？
(1)
>y=Sin^-1(x/2) (x=1)
0＜x＜2とすれば 0＜y＜π/2,
sin(y)=x/2
cos(y)y'=1/2
cos(y)＞0
y'=(1/2)/cos(y)=(1/2)/√(1-sin^2(y))=(1/2)/√(1-(x/2)^2)
∴y'=1/√(4-x^2)
これにx=1を代入したらいいだろう。

(2)
>y=(Tan^-1(x))^2 (x=-1)
-√3＜x＜0とすれば 0＜y＜π/3
tan(y^(1/2))=-x
sec^2(y^(1/2))(1/2)/y^(1/2)*y'=-1
{1+tan^2(y^(1/2))}y'=-2y^(1/2)
(1+x^2)y'=2tan^-1(x)
y'=2tan^-1(x)/(1+x^2) (-√3＜x＜0)
これにx=-1を代入したらいいだろう。

(2)単なる積の微分を2回するだけ。

(3)
(1)∫[-1,1] (x＋1)/(x^2＋1)dx
=∫[-1,1] 1/(x^2＋1)dx
=2[tan^-1(x)][x=0,1]=π/2

(2)∫[π,2π] sin(x-π)/3｝dx
=∫[π,2π] {(1/2)sin(x)-(√3/2)cos(x)}dx
=-∫[0.π/2]sin(x)dx - 0
後は出来るだろ。

(3)∫[0,4] (x-1)√（2x＋1）dx
=[(1/3)(2x+1)^(3/2)+(1/2)x^2-x] [0,4]
後は出来るだろ。

補足

0＜x＜2とすれば 0＜y＜π/2,
-√3＜x＜0とすれば 0＜y＜π/3
はどうやったら分かるんですか？教えて下さい。

回答No.1

kenjoko

＞どうしても分からないので

どうしたか補足に書いてください。

＞(1)y=Sin^-1 x/2 (x=1)は

1/2インバースSinx　ですか？　　　インバースSinx...Sinx　の逆関数

＞(2)y=(Tan^-1x)^2 (x=-1)は

（インバースTanx）^2 ですか　　　インバースTanx...Tanx の逆関数

補足

みなさんのヒント見て、もう一度考えてみるので、待ってください。