辺の垂直、平行をベクトルの内積で示す時について

質問

お世話になっております。
三辺AB、BC、BDがあって、AB⊥BCかつAB⊥BDをベクトルの内積で示したい時は、普通
AB≠0、BC≠0、BD≠0が前提のもと、AB↑・BC↑=0 かつAB↑・BD↑=0を示すのだと思いますが、
AB⊥BCかつAB⊥BDならばBC//BDとはなりませんでしょうか？これがなりたつとき、BC↑・BD↑=±|BC↑||BD↑|で先の関係を示す事は出来ますか？
一応やってみたのですが、計算ミスがあるのか、そもそもこの考えが誤りなのか、うまく一致させることが出来ませんでした。 この方法も可能なのか、お教え下さい。宜しくお願い致します。

回答No.5

178-tall · ベストアンサー

>2 次元なら OK 、3 次元では NG という例題でしたか。

>降参…。

問題を一見、勝手に「2 次元」と思い込んで惨敗。

　2 次元では、AB に直交するベクトルの直線勾配が (± を除き)一意的に決まる。

　3 次元では、AB に直交するベクトルの平面勾配は (± を除き)一意的に決まる。
　…けど、直線勾配は何でもあり。

なのでした。

お礼

返事が遅くなってしまいすいません。
予め空間での話と前置きしておくべきでした。おかげで、自分の抜けてた部分に気付けました。
三度のご回答に感謝致します。ありがとうございました。

回答No.4

suko22

四面体ABCDですよね。
ちょっと図を描いてみたのですが、
＞AB⊥BCかつAB⊥BDならばBC//BDとはなりませんでしょうか？
とはならないのでは？
BCとBDが平行ならそもそも四面体にならないですよね。
∠CBDはいろいろな角ををとると思いますが、
いま各座標が決まっているなら、
cos(∠CBD)=(BC・BD)/|BC||BD|で決まるのでは？

情報が少ないので指摘が間違っていたらすみません。

お礼

質問内容をはしょってしまったため混乱を招く事になってしまいました。すいません。(自分では、平行条件を利用出来るかどうかだけ知りたかった事もあったゆえ)

中学で扱うような簡単なことを見落としていたようです。
ご回答ありがとうございました。

回答No.3

naniwacchi

こんばんわ。

＞AB⊥BCかつAB⊥BDならばBC//BDとはなりませんでしょうか？
3次元空間になると「ねじれの位置」が反例になるかも。

お礼

返事が遅くなってしまいすいません。

あ…、一番基本的な話ですね。まだまだ思慮不足です。記憶力不足かもしれないですが…。 ご回答ありがとうございました。

回答No.2

178-tall

2 次元なら OK 、3 次元では NG という例題でしたか。

降参…。

お礼

ご回答ありがとうございました。私の配慮不足でした。

回答No.1

178-tall

>AB⊥BCかつAB⊥BDならばBC//BDとはなりませんでしょうか？

なりそう。

>これがなりたつとき、BC↑・BD↑=±|BC↑||BD↑|で先の関係を示す事は出来ますか？

できそう。

>一応やってみたのですが、計算ミスがあるのか、そもそもこの考えが誤りなのか、うまく一致させることが出来ませんでした。

計算例を見せて。

お礼

早速のご回答ありがとうございます。そうですね。一応挙げます。

四点A(8,2,-3)、B(1,3,2)、C(5,1,8)、D(3,-3,6)のなす四面体ABCDについて、AB⊥BCかつAB⊥BDが成り立つ事を示したい時です。
定点Oに関して
AB↑=(-7,1,5)
BC↑=(4,-2,6)
BD↑=(2,-6,4) となりました。普通に内積=0で示す方法を取った時は問題無く導けたのですが、平行条件を使おうと計算したら合わなくなりました。私がやってみたのは、
AB⊥BCは普通に内積=0で、次にBC↑・BD↑=±|BC↑||BD↑|が成り立つかどうかの計算をして間違えました。