[解析力学] 作用Sの変分 t→t+δt の導出

質問

ラグラジアンL(q,q~,t)を用いて作用S＝∫(t0～t)dt'L(q,q~,t')とする。
ただしqは一般化座標、q~はdq/dt（一般化速度）、tは時間であり、
Lはラグランジュ方程式 (d/dt)(∂L/∂q~)-(∂L/∂q)＝0 を満たすものとする。
このとき、
（１）時刻tでのq(t)を q→q+δq としたときの変分δS
　　を一般化運動量∂L/∂q~＝p とδqを用いて表せ。
（２）位置qとなるtを t→t+δt としたときの変分δS
　　を L、p 、q~、δqを用いて表せ。
ただしq(t0)は固定

という問題について、
（１）はδS＝pδq が求まったのですが、（２）の解法がわかりません。
調べるとδS＝(L-pq~)δt のようになるらしいのですが・・・

解法、もしくはヒントを教えていただきたく思います。
δS＝（∂S/∂t）δt+（∂S/∂q）δq+（∂S/∂q~）δq~

回答No.2

sa10no · ベストアンサー

すみません。計算間違ってました。#1の方針でも出来ると思うのですが汎関数積分の扱いが難しいのでとりあえず忘れて下さい。
あるqに到達する時刻をずらすという操作を考えます。
ノーテーションが分かりにくいので元々のラグランジアンにおいて時刻t=t1でq(t1)=q1だったとします。
このq1に到達する時刻をt=t2にするために新たな関数Q(t)を導入しQ(t2)=q1をみたすとします。
いま、t1とt2の関係がt1+δt=t2となる場合を考えればいいのでqとQの関係は
Q(t2)=q(t1)=q(t2-δt)=q(t2)-q~(t2)δt+O(δt^2)
となります。
次に速度は両辺t2で微分すればいいのですが、微少量の変化分を無視すればd(t2)=d(t1)なので
Q~(t2)=q~(t1)=q(t2-δt)=q(t2)-q~'(t2)δt+O(δt^2)　
となります。この操作によりラグランジアンがL→L'=L(Q(t),Q~(t),t)と変化し、作用の積分範囲は[t0,t+δt]となります。
したがって作用は
S→S'=∫[t0,t+δt]dt L(q(t)-q~(t)δt,q~(t)-q~'(t)δt,t)
=∫[t0,t+δt]dt {L-(∂L/∂q)qδt-(∂L/∂q~)q~'δt}
=∫[t0,t+δt]dt {L-(∂L/∂q)qδt-[d/dt(∂L/∂q~)q~]δt+[(d/dt)∂L/∂q~]q~δt}
=∫[t0,t+δt]dt {L-[d/dt(∂L/∂q~)q~]δt}
となるから作用の変化分は
δS=∫[t0,t+δt]dt {L-[d/dt(∂L/∂q~)q~]δt}-∫[t0,t]dt L
=∫[0,δt]dt L -∫[t0,t+δt]dt [d/dt(∂L/∂q~)q~]}δt
=Lδt-(∂L/∂q~)q~δt+O(δt^2)
=(L-pq~)δt
となります。

お礼

丁寧に計算式まで書いていただきありがとうございました！
非常に参考になりました！

今気づきましたが
∂S/∂q＝p
∂S/∂t＝L-pq~＝-H
からHamilton-Jacobi方程式が導かれるんですね…

回答No.1

sa10no

δtは微小な定数のように扱います。このときqおよびq~の変化を求め、通常の変分を行えばδS=(L+pq~)δtとなります。
pq~の符号違ってませんか？

補足

早速の返信ありがとうございます。

S[q(t),t]について、
δS＝(∂S/∂t)δt+(∂S/∂q)δq
　 ＝Lδt+p(dq/dt)δt (∵(1)より∂S/∂q＝p)
　 ＝Lδt+pq~δt
　 ＝(L+pq~)δt
ということでしょうか...?

上では S[q(t),t]＝∫(t0～t) L[q(t'),q~(t'),t'] dt' の定義から
　∂S/∂t＝L
とし、
また上の解から
　δS/δt = dS/dt = L+pq~
ということになるかと思います。

δS=(L-pq~)δtというのは、http://goo.gl/glPiH（wikipedia）の作用積分の項、
　∂I/∂t＝L-pq~=-H
から引用したものなのですが、
同ページでは
　dI/dt＝L
ともなっています。

上の解が正しいとすれば、SとIで何が違うのでしょうか？

また、S[q(t),t]の定義から
　dS/dt = L
にはならないんでしょうか？

疑問がたくさんで申し訳ありませんが、ひとつでも答えていただければ幸いです。