作用積分と一般化運動量の関係がわかりません

質問

作用積分の変分ΔS＝∫_tA^tB dtΣ(Δq ∂L/∂q + Δq' ∂L/∂q')
これを部分積分して、
＝[ΣΔq ∂L/∂q']_tA^tB ＋ ∫_tA^tB dtΣΔq (∂L/∂q － d/dt ∂L/∂q')
ここで、tAとtB　では、Δq ＝０　なので、第一項は０になり、
これから、ラグランジュの方程式が出てくるのは、わかります。

そうせずに、全体をΔqで微分（偏微分）すると、

∂S/∂ｑ＝∂L/∂q'　＋　∫_tA^tB dt　０

なので、一般化運動量ｐを∂L/∂q'　と置くと、
ｐ＝∂S/∂ｑ　となりました。

それで、ｔAの時点での一般化運動量をｐAとし、ｔBの時点での一般化運動量をｐBと
すると、運動量保存則から、
ｐA＝ｐB　となると思うのです。
仮に、外力による運動量の増加Δｐがあったとしても
ｐB＝ｐA＋Δｐ　と思います。

しかし、本には、
ｔAの時点では、－ｐA　　ｔBでは、　ｐB　と書いてあります。
何故、－　がつくのかわかりません。

回答No.1

heboiboro · ベストアンサー

Δqは時間の関数ですので、特にt=tA でのΔqをΔq_A, t=tB でのΔqをΔq_Bと以下で書くことにします。
[ΣΔq ∂L/∂q']_tA^tB = ΣΔq_B ∂L/∂q'|_{t=tB} - ΣΔq_A ∂L/∂q'|_{t=tA} ですから、ラグランジュの運動方程式が成り立っているとき、
∂S/∂q_A = -∂L/∂q'|_{t=tA} = -pA
∂S/∂q_B = ∂L/∂q'|_{t=tB} = pB
となります。

少し説明を加えますと、Sというのを、q_A, q_Bを与えたとき、q_Aを始点としq_Bを終点とするラグランジュの運動方程式を満たす軌道にそってLを積分した値を返すような関数S(q_A, q_B)として定義した場合に、
そのSをq_A, q_B で微分するとそれぞれ -p_A, p_B が出てくるということです。

お礼

わかりやすい説明、ありがとうございました。