角運動量

質問

位置ベクトルrの位置にいる質量mの質点に、中心力ポテンシャルV(r)=-k/r(k>0)より導かれる力F(r)がはたらいている。質点の運動量をp,角運動量をL,エネルギーをEとする。

d/dt(r↑/r) = (L↑×r↑)/mr^3 = -(L↑×F(r)↑)/mk を示せ。

全くわかりません。詳しい解説お願いします。

回答No.1

NemurinekoNya · ベストアンサー

はぁ～、これも私がやるのですか～。

まず、下準備。
　grad(r) = r↑/r
　v↑ = dr↑/dt (= p↑/m)

d(r↑/r)/dt = (1/r)・(dr↑/dt) + r↑・d(1/r)/dt = (1/r)・(dr↑/dt) - (r↑/r^2)・dr/dt

dr/dt = (v↑・grad(r)) = (v↑・r↑/r) = (v↑・r↑)/r

∴
d(r↑/r)/dt = (1/r)v↑ - (v↑・r↑)r↑/r^3　　　　・・・（１）

それで、
(L↑×r↑) = -r↑×L↑ = -r↑×(r↑×p↑) = -(r↑・p↑)r↑ + (r↑・r↑)p↑
= (r↑・r↑)mv↑ - (r↑・mv↑)r↑ = r^2・mv↑ - m(r↑・v↑)r↑
となりまして、
これをmr^3でわると、（１）になるんですわ。

よって、
　d/dt(r↑/r) = (L↑×r↑)/mr^3　　　　　　　・・・（２）

F(r)↑ = -grad(v(r)) = -k(r↑/r^3)
だから、
　r↑ = -{(r^3)/k}F(r)↑
これを（２）に代入すると、
(L↑×r↑)/mr^3 = -(L↑×F(r)↑)/mk
となります。

よって、
　d/dt(r↑/r) = (L↑×r↑)/mr^3 = -(L↑×F(r)↑)/mk
なんでございますよ。

お礼

F(r)↑ = -grad(v(r)) = -k(r↑/r^3)
とありますが、
F(r)↑ = (∂v/∂r)=k/r^2じゃないのはなぜですか？
詳しい解説お願いします。

回答No.3

NemurinekoNya

r^2 = x^2 + y^2 + z^2
∂r^2/∂x = (dr^2/dr)・∂r/∂x = 2r・∂r/∂x = 2x
∂r/∂x = x/r
同様に、
∂r/dy = y/r
∂r/dz = z/r
よって、
grad(r) = r↑/r
（こうやるのが、エレガントなのだ！！）

grad(1/r) = (d(1/r)/dr)・grad(r) = -(1/r^2)・(r↑/r) = -r↑/r^3
（こうやるのが、センスのいい解き方なのだ）

お礼

詳しい解説ありがとうございます。

回答No.2

NemurinekoNya

F(r)↑ = -grad(V(r)) = -((∂V/∂x)i↑ + (∂V/∂y)j↑ + (∂V/dz)k↑)
です。
　i↑ = (1,0,0), j↑ = (0,1,0), k↑ = (0,0,1)

F = ｜F(r)↑|ならば、
　F = dV(r)/dr
なのでしょうけれど。
そして、これはスカラーで、ベクトルではありません。

中心力なので、力は円の原点に向かっています。
この時の単位ベクトルはr↑/rで、向きは原点方向ですから、マイナスが必要。
力の大きさは分かっていますので、
　F(r)↑ = F・(-r↑/r)
とするのは、まあ、ありかな。
　F = dV(r)/dr = -k・d(1/r)/dr = k/r^2
∴ F(r)↑ = (k/r^2)・(-r↑/r) = -k(r↑/r^3)
となります。

数学的には、あまり、お薦めできる解き方ではありませんが。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。