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角運動量
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以下「~」でベクトルを表します。 角運動量の定義は L~ = R~ × P~ (L~:角運動量ベクトル、R~:位置ベクトル、P~:運動量ベクトル) です。すると、初期状態において L = b・mv は明らかです。 また、位置R~のとき L~ = R~ × mV~ しかるに、 R~ = R e~_r として、(e~_r はR~方向の単位ベクトル) V~ = dR~/dt = dR/dt・e~_r + R de~_r/dt = dR/dt・e~_r + Rdφ/dt・e~_φ (e~_φはe~_rに垂直でφが増加する方向を向く単位ベクトル) よって、 L~ = R e~_r × m (dR/dt・e~_r + Rdφ/dt・e~_φ) = mR^2 dφ/dt・e~_r × e~_φ すなわち、 L = m R^2 dφ/dt となります。
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下図のように、剛体円盤AとBが、なめらかな(x,y)平面上にある。質量はともにM、半径はともにRであり、単位面積当たりの質量は一定であるとする。円盤Aが、速さvでx方向に回転せずに運動し、静止している円盤Bに衝突した。衝突前の円盤Aの中心はy=–Rで与えられる直線上に、円盤Bの中心は原点にあったとする。2つの円盤は衝突の瞬間に接点で完全に付着し、その後、一体となって運動したとする。以下の設問(1),(2)に答えよ。 (1)2つの円盤の重心系での全角運動量の大きさLを、M、R、vのうち必要なものを用いて表せ。 (2)付着後の2つの円盤の重心を通る(x,y)平面に垂直な軸のまわりの慣性モーメント(慣性能率)Iを、M、R、vのうち必要なものを用いて表せ。 この問題の解答は次のようなものでした。 『(1) 両者の重心系においてはAが左からv/2、Bが右からv/2の速度で自転せずに近づいてくるように見える。接点から速度ベクトルまでの距離はともに R/√2 であるから、 L=2×M(R/√2)(v/2)=MRv/√2 (2) 一つの円板の、その中心の周りの慣性モーメントは (1/2)MR^2 であるから、平行軸の定理により、その円周上のある点における慣性モーメントは (1/2)MR^2+MR^2=(3/2)MR^2 である。これが2つあるので、 I=3MR^2』 ここで、これらの解答に関していくつか質問があります。 質問(1) 『両者の重心系においてはAが左からv/2、Bが右からv/2の速度で自転せずに近づいてくるように見える。接点から速度ベクトルまでの距離はともに R/√2 であるから、 L=2×M(R/√2)(v/2)=MRv/√2』 この解答の意味するところがさっぱりわかりません。解説していただけないでしょうか。 質問(2) 『一つの円板の、その中心の周りの慣性モーメントは (1/2)MR^2 であるから、平行軸の定理により、その円周上のある点における慣性モーメントは (1/2)MR^2+MR^2=(3/2)MR^2 である。これが2つあるので、 I=3MR^2』 とありますが、これは付着後は重心が2つの円盤の接点になるということなのでしょうか? それと、接点の慣性モーメントはどうして円周上のある点における慣性モーメントの和になるのでしょうか?円周上のある点における慣性モーメントは (1/2)MR^2+MR^2=(3/2)MR^2 であることは理解できますが。この点は理解できません。
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お礼
詳しい解説ありがとうございます。