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不等式を解け

(2+√3)sinθ+(1+√3)cosθ≧｜sinθ｜ 色々やって cosθ≧0かつcosθ≧-sinθ または cosθ＜0かつcosθ≧-sinθ/√3 というのがわかったのですがcosθ≧-sinθやcosθ≧-sinθ/√3をどうやって解くのかがわかりません 教えてください

noname#157330
noname#157330

みんなの回答

  • ferien
  • ベストアンサー率64% (697/1085)
回答No.5

＞(2+√3)sinθ+(1+√3)cosθ≧｜sinθ｜ ０≦θ＜２πとします。 ０≦θ≦πのとき、｜sinθ｜＝sinθ，　π＜θ＜２πのとき、｜sinθ｜＝－sinθ　だから、 ０≦θ≦πのとき、 (2+√3)sinθ+(1+√3)cosθ≧sinθより、 (1+√3)sinθ+(1+√3)cosθ≧０ （１＋√３）（sinθ＋cosθ）≧０だから、 sinθ＋cosθ≧０ 合成の公式より、 √２sin（θ＋π/4）≧０だから、sin（θ＋π/4）≧０ ０≦θ≦π　より、π/4≦θ＋π/4≦π＋π/4だから、 Ａ＝θ＋π/4とおくと、π/4≦Ａ≦π＋π/4 sinＡ≧０より、単位円で考えると、 π/4≦Ａ≦π　だから、π/4≦θ＋π/4≦π よって、０≦θ≦3π/4　……（１） π＜θ＜２πのとき、 (2+√3)sinθ+(1+√3)cosθ≧－sinθ (3+√3)sinθ+(1+√3)cosθ≧０ 両辺を（１＋√３）で割ると、 {(3+√3)/(1+√3)}sinθ+cosθ≧０ （３＋√３）／（１＋√３）＝√３だから、 √３sinθ+cosθ≧０ 合成の公式より、 ２sin（θ＋π/6）≧０だから、sin（θ＋π/6）≧０ π＜θ＜２πより、π＋π/6＜θ＋π/6＜２π＋π/6だから、 Ｂ＝θ＋π/6とおくと、π＋π/6＜Ｂ＜２π＋π/6 sinＢ≧０だから、単位円で考えると、 ２π≦Ｂ＜２π＋π/6だから、２π≦θ＋π/6＜２π＋π/6 よって、11π/6≦θ＜２π　……（２） （１）（２）が解だと思います。計算を確認してみて下さい。

noname#157330
質問者

お礼

ありがとうございました

回答No.4

No.3です。 投稿した後に気づきました。No.2さんの解き方を勉強してください。

noname#157330
質問者

お礼

わかりました ありがとうございました

回答No.3

両辺cosθで割ってtanθ≧－1、tanθ≧－√3

noname#157330
質問者

補足

cosθ＜0のとき不等号が逆転してしまいませんか？

  • mins-maxs
  • ベストアンサー率22% (8/35)
回答No.2

参考URL貼り付け忘れました。 三角関数の合成 http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sankakukansuu/kahouteiri/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sankakukansuu/kahouteiri/gouseikousiki.html

noname#157330
質問者

お礼

ありがとうございました

  • mins-maxs
  • ベストアンサー率22% (8/35)
回答No.1

計算過程は長くなるので省きますが (1)cosθ≧0かつcosθ≧-sinθ (2)cosθ＜0かつcosθ≧-sinθ/√3 が正しいとして計算した結果 (1)－４５°≦θ≦９０° (2)９０°＜θ≦１５０° これより －４５°≦θ≦１５０°という答えがでました。 あってる自信はありません＾＾； 三角関数の合成公式を使えば解けるのではないでしょうか。 cosθ＋sinθ≧０とみて左辺を合成すれば出せると思います。

noname#157330
質問者

補足

本当にすみません！ sinθ≧0かつsinθ≧-cosθ または sinθ＜0かつsinθ≧-cosθ/√3

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