線積分

質問

線積分の以下のような問題の解答方法を教えていただきたいです。
（１）∫（Ｃ）（ｘ＾２ｙｄｘ－ｘｙ＾２ｄｙ）、Ｃは（０，０）、（１、０）、（１，１）、（０，１）を頂点とする正方形を反時計回りに一周

僕はまずＣ１　ｘ＝１　０≦ｙ≦１、Ｃ２　ｙ＝１　，１≦ｘ≦０　Ｃ３　ｘ＝０　１≦ｙ≦０　
Ｃ４　ｙ＝０　０≦ｘ≦１のように分け解こうとしましたが解決の位置口はまるでつかめませんでした

（２）Ｃをｘｙｚ空間の（１，０，１）から（２，２，３）へ向かう線分するとき
（a）∫（Ｃ）（ｘｙ＋ｚ＾２）ｄｓ
（ｂ）∫（Ｃ）（ｘi+yj+zk）・ｄｓ

こちらは解答方法が見当もつきません。詳細な回答お願いします。

回答No.7

info22_ · ベストアンサー

#5です。

A#5の補足質問の回答

>(1)の解答はー２/3となっているのですが・・・

下記のC3の積分の積分の上限から下限を引く所でミスがありました。
それを直せば解答通りになります。

>C3での積分
>　y=1,dy=0なので
>∫[C3]=∫[1→0] x^2dx=[x^3/3][1→0]=1/3　←×
正：∫[C3]=∫[1→0] x^2dx=[x^3/3][1→0]=-1/3
...

>これらの積分を加えればCでの積分は0と求まります。
これらの積分を加えればCでの積分は
　積分=0+(-1/3)+(-1/3)+0=-2/3
と求まります。答えと一致します。

回答No.6

151A48

♯３ですが，ご質問があったので・・・・
（１，０，１）＋ｓ（１，２，２）　の意味から
ｓ＝０のとき始点の（１，０，１）
ｓ＝１のとき終点の（２，２，３）
よってパラメーターのｓは０から１まで動きます。

回答No.5

info22_

(1)
C=C1+C2+C3+C4
C1:y=0,x:0→1
C2:x=1,y:0→1
C3:y=1,x:1→0
C4:x=0,y:1→0
のように経路を分割して積分します。
∫[C]=∫[C1]+∫[C2]+∫[C3]+∫[C4]
C1での積分
　y=0,dy=0なので
∫[C1]=∫[0→1] 0dx=0
C2での積分
　x=1,dx=0なので
　∫[C2]=∫[0→1] -y^2dy=[-y^3/3][0→1]=-1/3
C3での積分
　y=1,dy=0なので
∫[C3]=∫[1→0] x^2dx=[x^3/3][1→0]=1/3
C4での積分
　x=0,dx=0なので
　∫[C4]=∫[1→0] 0dy=0

これらの積分を加えればCでの積分は0と求まります。

(2)
C:(1,0,1)(1-t)+(2,2,3)t=(1-t+2t,2t,1-t+3t)=(1+t,2t,1+2t) (t:0→1)
と書けるので 経路C上では
x=1+t,y=2t,z=1+2t,dx=dt,dy=2dt,dz=2dt ...(★)
ds=idx+jdy+kdz=(i+j2+k2)dtなので
(a)
∫(C)(xy＋z^2)ds=∫[0→1](2t(1+t)+(1+2t)^2)(i+j2+k2)dt
=(i+j2+k2)∫[0→1](2t(1+t)+(1+2t)^2)dt

この続きは単なるtの定積分ですから出来ますね。
やってみて下さい。

(b)
内積の定義より
(xi+yj+zk)・ds=(xi+yj+zk)・(idx+jdy+kdz)=xdx+ydy+xdz
(★)の関係を代入して
(xi+yj+zk)・ds=(1+t)dt+4tdt+2(1+2t)dt=(3+9t)dt
であるから
∫(C)(xi+yj+zk)・ds=∫[0→1](3+9t)dt

この続きは単なるtの定積分ですから出来ますね。
やってみて下さい。

分からなければ、補足質問して下さい。

補足

(1)の解答はー２/3となっているのですが・・・　
問題も確認しましたが転記間違いもないようです

回答No.4

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

No.1です。

積分路はOKです。
しいて行ったら、原点が始点と終点の方がいいですね。

回答No.3

151A48

(2)
(1,0,1)から(2,2,3)に向かうベクトル　(1,2,2)
C上の点は　(1,0,1)+s(1,2,2)=(1+s,2s,1+2s)
x=1+s,　y=2s,　z=1+2s　 (0　≤　s　≤　1)
として考える。

補足

ｓの範囲はどのように求めるのでしょうか？よろしくお願いします

回答No.2

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

(2)も、特異点持っている訳じゃないんで、(1)のようにそれぞれの変数ごとに階段状(正しい表現ではないかも…)に積分路をとればできると思います。

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

とりあえず(1)だけ。

dxやdyの積分は、変化させるところのみ値を持ちます。(例えば、xが変化しないとこはdxの項は０です)

補足

では範囲に対する考えは正しいということでしょうか？
またｘとｙの関係式が現れないので何をtと置くべきなのかも分からない有様です。例えば（０、０）から（１、１）までだとしたらｙ＝ｘが得られｘ＝ｔと置くことで
計算できると思うのですが・・・よろしくお願いします