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ベクトル場の線積分

例えば f=xi + yj + zk としたときの(0,0,0)から(1,1,1)までの2点の路に沿うて ∫c　f・dr を求める際、 tを媒介変数としてx=t,y=t,z=tと置いて解き進めていくと思います。 その過程でスカラー積を実行後、積分範囲を指定しなければならないと思います。（∫c →∫[0~1]のように） なのですがこの積分範囲の決め方がわからず困っています。 どなたかよろしくお願いします。 条件が変わった際の例などもあると幸いです。

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  • info22
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回答No.5

#2です。 A#2の補足の回答 >ここのt=0,1の決め方を詳しく教えていただいてもいいでしょうか？ すでに他の方も説明されています。積分経路のr方向のベクトルを、座標軸に投影すれば明らかでしょう。この関係はA#2の最初の行に r=(√3)tと書いてあるではないですか？ x=y=z=tでrを0→√3まで積分すると言うことは、 座標(x,y,z)=(t,t,t)でいえば　(0,0,0)→(1,1,1)までの経路（積分経路長は√3）積分するからtにおきかえれば0→1となり、これが積分の範囲になります。 >前述の方法を用いたときの積分区間の決め方がわかりません。 後者の積分路の決め方でやればいいではないですか。 >例えば原点から(1,2,3)までの直線に沿うて線積分を行う際、前述の方法ではどのように積分区域を決定するのでしょうか？ どうしても前者の方法でやりたければ x=t,y=2t,z=3tとおけばr=t√(1+4+9)=t√14でtの積分範囲はやはり[0,1]で良いでしょう。この範囲をtが変化すれば積分経路は(0,0,0)→(1,2,3)となるでしょう。

citele
質問者

お礼

お手数かけてすいません。 やっとわかりました。 ありがとうございました。

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  • arrysthmia
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回答No.6

要するに、積分路をパラメータ表示した パラメータの範囲が、線積分の積分範囲です。 余計なことを、考え過ぎていませんか？ 原点から (1,2,3) までの線分を、 (t,2t,3t) とパラメータ表示すれば 積分範囲は 0≦t≦1、 (5t-5,10t-10,15t-15) と表示すれば 積分範囲は 1≦t≦6/5。 点とパラメータの対応を考えるだけです。

citele
質問者

お礼

なるほど、そのように考えたらいいのですね。 わかりました、ありがとうございました。

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  • arrysthmia
  • ベストアンサー率38% (442/1154)
回答No.4

C のパラメータ表示は、 0≦t≦1 の範囲でしょう？ C に沿って積分するのですから、 その範囲が、積分範囲です。 計算の途中で、置換積分を行えば、 それに伴って、範囲の翻訳が起こる だけです。

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  • rnakamra
  • ベストアンサー率59% (761/1282)
回答No.3

ベクトルとスカラーが混在しますので、記号を定義しておきます。 原点からの位置ベクトルをr→,r→方向の単位ベクトルをr~,r→の大きさをRとしますと、経路を直線x=y=z上にとり、(0,0,0)から(1,1,1)まで積分するとなると、r→=Rr~でr~は一定ですから dr→=r~dR　積分範囲はR:0→√3 となります。(もちろんr~=(1/√3,1/√3,1/√3)です。) この場合、x=y=x=tとするとRは R^2=t^2+t^2+^2 となりますので、ここからdR→dtの関係が得られます。

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  • info22
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回答No.2

r=(√3)t, dr=(√3)dt f・dr=(√3)t(√3)dt=3tdt ∫c (f・dr)=∫[t=0,1]3tdt で計算すれば良いでしょう。 → 3/2 別解として 経路を C=C1+C2+C3 C1:(0,0,0)→(1,0,0) C2:(1,0,0)→(1,1,0) C3:(1,1,0)→(1,1,1） と分割してそれぞれの経路に沿って積分して ∫c　f・dr＝∫c1　f・dr+∫c2　f・dr+∫c3　f・dr =∫[0,1]xdx+∫[0,1]ydy+∫[0,1]zdz =1/2+1/2+1/2=3/2 と積分してもいいですね。

citele
質問者

補足

>∫c (f・dr)=∫[t=0,1]3tdt ここのt=0,1の決め方を詳しく教えていただいてもいいでしょうか？ 後述の積分路を区切った際はそれぞれ0,1で積分すればいいのはわかるのですが、前述の方法を用いたときの積分区間の決め方がわかりません。 例えば原点から(1,2,3)までの直線に沿うて線積分を行う際、前述の方法ではどのように積分区域を決定するのでしょうか？

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noname#221368
noname#221368
回答No.1

　想像ですが、fは保存場から導かれる力の類ではないですか？。fの成分がポテンシャルＦから、x，y，zの偏微分によって導かれる場合、積分結果は積分路cに関わらず、cの起終点の位置のみで決まります。 　違ってたら、またご連絡下さい。

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