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線積分の問題です

Cをxy平面上の曲線y=x^2の(0,0)から、(1,1)まで向かう部分とする次のベクトル場Aに対し、線積分∫A・dsを求めよ。 A=2xi-3yj A=xyi-y^2j A=cosxi これらの問題の解き方でパラメータ形式を使わなくても楽に解くことが出来ると耳にしたのですが、どのようにして解けばいいのでしょうか？ ご教授お願いいたします。

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noname#111804
noname#111804
回答No.2

A=(xy)i+(-y^2)jの場合 ds=dxi+dyjとして A・ds=（xy)dx+(-y^2)dy…(1) ∫[C}A・ds＝∫[C} (xydx+(-y^2)dy) =∫[0→1] (x^3-2x^5)dx （ｙ＝ｘ＾２、dy=2xdx より） =(x^4/4-x^6/3)[x=0--->x=1] =1/4-1/3 =-1/12 *********************************************** A=(cosx)iの場合 ds=dxi+dyjとして A・ds=（cosx)dx…(1) ∫[C}A・ds＝∫[C} (cosx)dx+(0)dy) =∫[0→1] (cosx)dx （ｙ＝ｘ＾２、dy=2xdx より） =(sinx)[x=0--->x=1] =sin(1)

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  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)
回答No.1

線積分は学校の授業で学習されたのでしょうね。 問題を丸投げしないで、分かる範囲で各積分のを途中計算とともに補足に書いてください。そして行き詰ってわからない箇所を補足質問してください。 線積分は内積の積分をすれば良いでしょう。 内積は習っていますね。 たとえば、 A=2xi-3yjの場合なら ds=dxi+dyjとして A・ds=2xdx-3ydy…(1) ここで　sの経路は　y=x^2　なのでこのyと 微分した dy=2xdx を (1)の式に代入してやると線積分は ∫[C}A・ds＝∫[C} (2xdx-3ydy)=∫[0→1] (2x-6x^3)dx と書ける。 この積分なら簡単に出来るだろう。 他のAについても同様に出来ますので、上に習って同じようにやってみて下さい。 分からないなら、やった途中計算の過程を詳しく補足に書いて、質問して下さい。

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