- ベストアンサー
コーシーシュワルツの不等式の問題
a＞0、b＞0、c＞0、d＞0のとき (1/a)+(1/b)+(4/c)+(4/d)≧36/(a+b+c+d)が成り立つことを証明せよ コーシーシュワルツの不等式を使うのですがどうやるのでしょうか？教えてください
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
関連するQ&A
- コーシーシュワルツの不等式
文字は全て実数 √(a^2+b^2+c^2)*√(x^2+y^2+z^2)≧|ax+by+cz| を利用して 10(2a^2+3b^2+5c^2)≧(2a+3b+5c)^2 を証明せよ。という問題です。 調べてみると上記のシュワルツの不等式を利用するようなのですが うまい変形が思いつきませんでした。 ご教授お願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- コーシー・シュワルツの不等式に関するラグランジュの恒等式
コーシー・シュワルツの不等式に関するラグランジュの恒等式というのがあるのですが、どのように証明すればよいのでしょうか。 どうか教えてください。 http://www.geocities.jp/kubojie/pdf/math10.pdf の１ページ目の一番下参照
- ベストアンサー
- 数学・算数
- コーシー・シュワルツの不等式の証明について
コーシー・シュワルツの不等式の証明について 二次不等式を使った証明なのですが、場合分けをする理由がよくわかりません。 どなたかご教示お願いします。 問．tがどんな実数値を取っても常に（at-x)^2+(bt-y)^2≥0であることを用いて、次の不等式を証明せよ。 （a^2+b^2)(x^2+y^2)≥(ax+by)^2 これを証明するには、 （at-x)^2+(bt-y)^2≥0の左辺をtについて整理して (a^2＋b^2)t^2-2(ax+by)t+x^2+y^2≥0 したがってtの2時不等式が得られるので、（左辺）≥0となる条件から D/4＝（ax+by）^2-(a^2+b^2)(x^2+y^2)≤0 移行して (a^2+b^2)(x^2+y^2)≥(ax+by)^2 と、ここまでは導けたのですが、解答では （i）a^2+b^≠0 すなわち a^2+b^2>0のとき （ii）a^2+b^2=0 すなわち a=b=0のとき と場合分けをして、どちらも成り立つことを証明しています。 この二次不等式が0以上であるためには判別式D≦0とともにa^2+b^2>0（下に凸）という条件が入ってくるのだと思いますが、それならば（ii）はいらないのではないでしょうか。2つの場合が成り立たなければならない理由はなんでしょうか。 よろしくお願いいたします。
- 締切済み
- 数学・算数
- コーシー・シュワルツの不等式の相加相乗平均での証明法について。
コーシー・シュワルツの不等式の相加相乗平均での証明法について。 http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%a5%b3%a1%bc%a5%b7%a1%bc%a1%a6%a5%b7%a5%e5%a5%ef%a5%eb%a5%c4%a4%ce%c9%d4%c5%f9%bc%b0%a4%ce%be%da%cc%c0 上のＨＰのコーシー・シュワルツ不等式の相加相乗平均での証明法についてです。 中ほどのルートを外すところですが、 実際は http://cid-b9bcb472398930c5.photos.live.com/self.aspx/%e6%96%b0%e3%81%97%e3%81%84%e3%82%a2%e3%83%ab%e3%83%90%e3%83%a01/%e7%84%a1%e9%a1%8c%e3%81%ae%e7%94%bb%e5%83%8f%e3%82%b3%e3%83%bc%e3%82%b7%e3%83%bc.png (a_k)^2/2A+(b_k)^2/2B≧√(a_k)^2(b_k)^2/AB=|(a_k)(b_k)|/√AB のように分子に絶対値が付くと思うのですが。 しかしそのまま絶対値を付けて、最後まで証明すると Σ[i=1→n](a_i)^2Σ[i=1→n](b_i)^2≧{Σ[i=1→n]|(a_i)(b_i)|}^2 となり、 コーシー・シュワルツの不等式式より厳しい不等式が出てきます。 どこかが間違えてると思うのですが、どこだか分かりません。 どなたか問題点が分かりましたら教えてください。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- コーシー・シュワルツの不等式の使い方で分からない点があるのでお尋ねしま
コーシー・シュワルツの不等式の使い方で分からない点があるのでお尋ねします。 「0以上の実数s,tが s^2 + t^2 =1を満たしながら動くとき、 x=(√s ± √t)^2 のとる値の範囲を求めよ」という問題があったとします。 解法として コーシー・シュワルツの不等式を使って、(√s + √t)^2＝(1・√s + 1・√t)^2 ≦ (1^2 + 1^2)( s + t )＝２( s + t ) 再度コーシー・シュワルツの不等式より、 ( s + t )^2≦(1^2 + 1^2)(s^2 + t^2)＝２ （ s^2 + t^2=１より） ? ( s + t )≦√２ 従って、(√s + √t)^2 の最大値は２√２．最小値は(解き方省略で)１ 次に、(√s - √t)^2 の最大値は、０≦ s,t ≦１より、ｓ＝１,ｔ＝０またはｓ＝０,ｔ＝１のときで１． 最小値は s＝t＝1/√2 のときで０(細かいことは省略) ここで疑問なのですが、(√s - √t)^2 に、(全ての実数で成立する)コーシー・シュワルツの不等式を適用して、 (√s - √t)^2＝{1・√s +(-1)・√t}^2 ≦{1^2 + (-1)^2}( s + t )＝２( s + t ) としても 最大値を導けないのは何故なんでしょう？ つまらない質問で恐縮ですが、ご教授をよろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- シュワルツの不等式は大学受験で使えますか？
はじめまして。 シュワルツの不等式という公式（？）があると耳にしました。 調べてみると、とても便利な公式で、これにより多くの証明が簡単に終えられる可能性があることがわかりました。 これは、大学受験で『シュワルツの不等式から』という但し書きで使えるのでしょうか？ それとも使うには、解答用紙内で一度シュワルツの不等式を証明する必要がありますか？
- 締切済み
- 数学・算数
- コーシー＝シュワルツの不等式の応用(高校二年)
次の不等式を証明せよ (1) √(a^2+b^2+c^2)√(x^2+y^2+z^2) ≧ |ax+by+cz| (2) √(a^2+b^2+1) + √(x^2+y^2+1) ≧ √(((a - x)^2) + ((b - y)^2)) 問一は解けたのですが、問二がどうしても解けません。 問一の不等式を応用して問二を解くらしいことは分かるのですが・・・ 違いますか？ 宜敷御願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
よく分かりました ありがとうございました