- ベストアンサー
コーシー・シュワルツの不等式の使い方についての疑問
- コーシー・シュワルツの不等式を使用して、(√s + √t)^2の最大値と最小値を求めることができます。
- しかし、(√s - √t)^2の最大値を求める際にコーシー・シュワルツの不等式を使用しても最大値を導くことはできません。
- この疑問に対する解答は、コーシー・シュワルツの不等式は正の値に対してしか使用できないためです。
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
関連するQ&A
- コーシー・シュワルツの不等式の証明について
コーシー・シュワルツの不等式の証明について 二次不等式を使った証明なのですが、場合分けをする理由がよくわかりません。 どなたかご教示お願いします。 問.tがどんな実数値を取っても常に(at-x)^2+(bt-y)^2≥0であることを用いて、次の不等式を証明せよ。 (a^2+b^2)(x^2+y^2)≥(ax+by)^2 これを証明するには、 (at-x)^2+(bt-y)^2≥0の左辺をtについて整理して (a^2+b^2)t^2-2(ax+by)t+x^2+y^2≥0 したがってtの2時不等式が得られるので、(左辺)≥0となる条件から D/4=(ax+by)^2-(a^2+b^2)(x^2+y^2)≤0 移行して (a^2+b^2)(x^2+y^2)≥(ax+by)^2 と、ここまでは導けたのですが、解答では (i)a^2+b^≠0 すなわち a^2+b^2>0のとき (ii)a^2+b^2=0 すなわち a=b=0のとき と場合分けをして、どちらも成り立つことを証明しています。 この二次不等式が0以上であるためには判別式D≦0とともにa^2+b^2>0(下に凸)という条件が入ってくるのだと思いますが、それならば(ii)はいらないのではないでしょうか。2つの場合が成り立たなければならない理由はなんでしょうか。 よろしくお願いいたします。
- 締切済み
- 数学・算数
- シュワルツの不等式で等号の成立条件の証明論理を教えて下さい
恥ずかしいのですが、 シュワルツの不等式で等号の成立条件の証明論理を理解していないことに、唐突に、気が付きました。 いくつかのサイトや教科書を見ましたがとてもさりげないです。丁寧な高木貞治先生の本でもさらりとかわされているような。 長くなりました。いろいろ考えた結果、 S(t)=||tf-g||^2=At^2-2Bt+C≧0 とおいて判別式が0ならばa,bを定数として S(t)=(at-b)^2のように書ける。するとあるt=t0(=b/a)が1つ存在して S(t0)=0となる。 すなわち、S(t0)=||t0・f-g||^2=0となる。ノルムまたは内積の性質から t0・f-g=0となり、fとgは比例する(逆は明白)。 以上のような論理が必要に思いましたが、どうでしょうか?考えすぎでしょうか? ご意見下さい。m(_ _)m(なお、A=0,a=0とかの細かいことは省略)
- 締切済み
- 数学・算数
- 高校数学の講習でわからないことがあります。
実数x、yが 4x^2+9y^2=36を満たすとき、x-2の最大値、最小値を求めなさいという問題です。 コーシー・シュワルツと内積どっちでも解けるといわれました。 できれば、両方詳しい解答を教えてもらえませんか?
- 締切済み
- 数学・算数
- 勾配とシュワルツの不等式
写真の命題の証明 (D_uf)(x) = (grad f(x))|u)とシュワルツの不等式により (D_uf)(x) = (grad f(x))|u) ≦ |grad f(x)|・|u| = |grad f(x)| 等号が成立するのは, grad f(x)=cu (c≧0)となるとき, すなわちgrad f(x)がuと同じ向きになるときに限る. とあったのですが、 (grad f(x))|u)=||grad f(x)||・||u|| ⇔grad f(x)とuが線型従属になる ⇔r・grad f(x)=u, またはgrad f(x)=ruとなる実数rが存在する より 「等号が成立するのは, grad f(x)=cu (c≧0)となるとき, すなわちgrad f(x)がuと同じ向きになるときに限る」 ではなく 「等号が成立するのは, c・grad f(x)=u, またはgrad f(x)=cuとなる実数cが存在するときに限る」 ではないでしょうか?
- 締切済み
- 数学・算数
- シュワルツの不等式
現在、「シュワルツの不等式」を勉強していますがわからない問題があります。これは大学受験用参考書に載っている問題です。どなたかおわかりになる方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。 問題は f(x)、g(x)はともに区間a≦x≦bで定義された連続関数とする。このとき、tを任意の実数とし、∫(a→b){f(x)+tg(x)}^2dxを考えることにより、次の不等式を証明せよ。 {∫(a→b)f(x)g(x)dx}^2≦∫(a→b){f(x)}^2dx∫(a→b){g(x)}^2dx また、どのようなときに統合が成立するか述べよ。です。 全くわからなくて、解答をみたのですが、解答をみても納得いかないところがあります。 解答は、 任意のtについて、{f(x)+tg(x)}^2≧0から、∫(a→b){f(x)+tg(x)}^2dx≧0 t^2∫(a→b){g(x)}^2dx+2t{∫(a→b)f(x)g(x)dx}+∫(a→b){f(x)}^2dx≧0 ⅰ)∫(a→b){g(x)}^2dx=0のとき、a≦x≦bでつねにg(x)=0 ・・・ ⅱ) ∫(a→b){g(x)}^2dx>0のとき・・・ とあります。 ⅰのときのところで質問です。 ∫(a→b){g(x)}^2dx=0のとき、a≦x≦bでつねにg(x)=0とは必ずしもそういえますか? たとえば、g(x)がaとbの中間で点対称のグラフでも、 ∫(a→b){g(x)}^2dx=0 となると思います。必ずしもg(x)=0とは言えないと思いますが・・・。 解答を読んでもよくわかりません。 この解答の意図するところもよくわかりません。(途中までしか書いてませんが。) 私の勉強不足なのですが質問する人がいないため、困っています。どなたかご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。また説明不足の点があれば補足させていただきますので宜しくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不等式 難しすぎて意味がわかりません。
次の不等式は、ある問題の題意を数式に要約したものになります。 この問題だけ説明が全くなく、困っています。思考の切り口だけでも結構ですので、手がかりをいただければ… よろしくお願いします。 問題 LとSは次の不等式をすべて満たす。このとき、LとSの比の値の最小値と最大値を求めよ。 1L +2S ≦100 1L +3S >100 1L +3S ≦200 1L +5S ≦200 1L +6S >200 答えは、最小が2、最大が14/3です。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不等式の解き方をおしえてください。
不等式 2(x-1)<x-a を満たす実数xのうちで、最大の整数が2であるとき、実数aの値の 範囲はどこか。 正解は -1<=a< 0 のようですが、どうして=がでてくるかわかりませんので、詳しくおしえてください。よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
回答をありがとうございます。 等号の付いた絶対不等式は、等号が成り立つ場合のみ絶対不等式は成立して最大値(または最小値)を求めることができる。従って、等号が成り立つことの判別が非常に重要。 と、解釈いたします。 ご教授を、ありがとうございました。