関数の２回微分の計算について

質問

f(x)=log(tan〘x/2〙)（0<x<π）について二回微分してx=π/6を代入して出てくる値を求めよ。
という問題なんですが、いくらやっても答えが合いません。

計算式を教えていただけないでしょうか？

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

y = tan(x/2),
z = log y
と書く。

dz/dx = (dz/dy)(dy/dx)
= (1/y){1/(cos(x/2))^2}(1/2)
= {cos(x/2)/sin(x/2)}{1/(cos(x/2))^2}(1/2)
= 1/{2sin(x/2)cos(x/2)}
= 1/sin(x)..

よって、
(d/dx)^2 z = (d/dx)(dz/dx)
= (d/dx)(sin x)^-1
= -{(sin x)^-2}(cos x).

x = π/6 を代入すると、
(d/dx)^2 z [x = π/6] = -cos(π/6)/{sin(π/6)}^2
= -{(√3)/2}/{1/2}^2
= -2√3.

どこで間違ったのか検討するから、
貴方の計算も書いてほしいな。

お礼

ありがとうございます。

自分はtan(x/2)を微分した時に最後に1/2をかけるのを忘れていました。

回答No.4

kaztel-D4C

No.2の者ですが、最後が間違っていました。f''(π/6)=以降が違うので、以下、訂正します。
f"(π/6)=(-√3/2)/(1/4)=-2√3
で、No.3の方と同じ答えです。
失礼致しました。

回答No.2

kaztel-D4C

合成関数の微分より、
f'(x)=1/{tan(x/2)}×1/{2cos^2(x/2)}
={cos(x/2)/sin(x/2)}×1/{2cos^2(x/2)}
cos(x/2)同士で約分して
=1/{2sin(x/2)cos(x/2)}
倍角の公式より
=1/sin(x)
さらに
f''(x)=-cos(x)/sin^2(x)よりx=π/6を代入して
f''(π/6)=(-1/2)/(3/4)=-2/3
だと思います。

お礼

ありがとうございます

回答No.1

noname2727

ｆ’（ｘ）＝１/{２cos^2(x/2)}
f"(x)=-cos(x/2)sin(x/2)/2cos^4(2/x)
=-sin(x/2)/2cos^3(x/2)

f"(π/６)＝-sin(π/１２)/２cos^3(π/１２)

お礼

ありがとうございます