• ベストアンサー

恒等式の定義

a bを実数とする2次方程式x^2+ax+b=0のひとつの解が、2+3iであるとき、定数a,bと他の解をもとめよ この問題で、解説には「他の解を p+qiとする」とかいていますが なぜpだけでなく、iもいれて、複素数だと予想できるのですか 後、このばあい、p+qiを、解と係数の関係から、係数比較をしてもとめるらしいのですが、 係数比較をするということは、恒等式だということですよね? なぜ作った式が恒等式だとわかるのですか。 恒等式になる定義とは一体なんなんですか

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • asuncion
  • ベストアンサー率33% (2126/6288)
回答No.1

y=x^2+ax+b のグラフを考えてみます。 このグラフとx軸(つまりy=0)との交点の数が、 方程式 x^2+ax+b=0 の実数解の個数となります。 そのパターンは下記の3とおりです。 x軸との交点の数=2:実数解2個 x軸との交点の数=1:実数解2個(ただし重解) x軸との交点の数=0:実数解0個、複素数解2個 今回の場合、1個の解が 2+3i という複素数(実数ではない)であることがわかっています。 ということは、方程式 x^2+ax+b=0 は実数解を持たず(当該のグラフはx軸との交点を持たない)、 既知の解である 2+3i を含めて2個の複素数解を持つことがわかります。 以上の議論においては、「n次方程式の解は、実数か複素数かはわからないが、必ずn個ある」ことを 前提としています。

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

その他の回答 (1)

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.2

まず「複素数と予想できる」のは「代数学の基本定理」から. でなぜ「恒等式」なのかといえば, もちろん因数定理.

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

関連するQ&A

  • 複素数と方程式

    複素数1+iを解の一つとする実数係数の三次方程式xの三乗+axの二乗+bx+c=0(すいません。式をどの様に打てばよいのか分からず、大変見づらくなってしまいました。axの二乗は、xだけが二乗されています)について、 ①この方程式の実数解をaで表せ。 ②この方程式と二次方程式xの二乗-bx+3=0がただ一つの解を共有するとき、定数a、b、cの値を求めよ。 という問題です。 ①から解けません。xに1+iと、共役な複素数1-iを代入したりしてみたのですが、解けません。 教えてください。

  • 高次方程式

    3次方程式(x-a)(x^2+bx+c)=0(a,b,cは実数の定数)の3つの解のうち、実数解と1つの虚数解の和が10/(1+3i)である。 (1)10/(1+3i)をp+qiの形に表せ。(p,qは実数) (2)a=2のとき、b,cの値を求めよ。 (3)3つの解の平方の和が4となるようなaの値を求めよ。 (1)は分母のiを消して1-3i (2)はa=2を代入して複素数の相当、解と係数の関係でb=2,c=10と答えを求めました が、(3)が分からないので教えてください。

  • 虚数係数?の三次方程式について

    (問題)aを定数とする。x=2-iが三次方程式x^3+3x^2+x+aの解であるとき、この方程式の実数解を求めよ。 という問題で、x=2+iを共約な解とおいてといたところ、解答に以下のように書いてありました。 「aが“実数の”定数である、という仮定がなされていれば、共約な複素数を用いて解くこともできる(この仮定が満たされないなら、三次方程式が実数解を持つことはないが、問題としておかしいことにはならない)」 これはつまり、 (1) 実数の係数という仮定がないなら共約な複素数を用いて解くことはできない (2)aが実数でないなら、実数解はなしである ということなんですか?実数解がないのに3つ解を持つことは出来るんですか? 問題は実数係数の三次方程式ばかりで、旧課程ではあまり複素数を扱わないのでちんぷんかんぷんです。教えて下さい。

  • 疑問点2つ

    1、複素数1+iを解の一つとする実数係数の3次方程式x^3+ax^2+bx+c=0について (1)この方程式の実数解をaで表せ (1)は解けまして実数解=-a-2 問題は(2)でしてこの方程式と2次方程式x^2-bx+3=0がただ一つの解を共有するとき、定数a,b,cの値を求めよ とりあえず一つの解は(1)でだした-a-2であると思うのですがこの先どうすればいいのかわかりません。 2、多項式P(x)を(x-1)^2で割った時の余りは4x-5で、x+2で割った時の余りは-4である (3)P(x)を(x-1)^2(x+2)で割った時の余りを求めよ 回答を見たところ P(x)=(x-1)^2(x+2)Q(x)+c(x-1)^2+4x-5と表していました。 答えは出せるのですが何故このようにあらわせるのかがわかりません。 長文となってしまいましたがお願いします

  • 共役複素数

    方程式x^4+ax^2+bx^2+cx+d=0は4つの虚数解を持つ その解の内、ある2つの和は19+2iであり、他の2つの積は4+5iである このときa、b、c、dの値を求めよ 2つの解α、βを、 α=p+qi、β=r+si とおくと、 共役複素数同士の和は実数だから α+βか¬α+¬βが19+2i、残った方の積が4+5iなのはわかりましたがここからがわかりません 解き方を教えてください

  • にゃんこ先生の自作問題、複素数係数の2次方程式が実数解をもつ条件は?

    にゃんこ先生といいます。 実数係数の2次方程式が実数解をもつ条件は、判別式が0以上です。 複素数係数の1次方程式ax+b=0が実数解をもつ条件は、複素平面で、a,b,0が同一直線上にあることです。 では、複素数係数の2次方程式が実数解をもつ条件はにゃんでしょうか? ずっと考えているのですが、よくわかりません。

  • 共役複素数

    a、b、c、dは実数の定数である 方程式x^4+ax^2+bx^2+cx+d=0は4つの虚数解を持つ その解の内、ある2つの和は19+2iであり、他の2つの積は4+5iである このときa、b、c、dの値を求めよ 2つの解α、βを、 α=p+qi、β=r+si とおくと、その共役複素数 ¬α=p-qi、¬β=r-si も解で、 x^4+ax^2+bx^2+cx+d=(x-α)(x-β)(x-¬α)(x-¬β)と表せられる ここでα+β=19+2iとすると、 (x-α)(x-β)=x^2-(19-2i)x+(4+5i) (x-¬α)(x-¬β)=x^2-(19+2i)x+(4-5i) であり、x^4+ax^2+bx^2+cx+d=(x-α)(x-β)(x-¬α)(x-¬β)と表せることから、この右辺の積がx^4+ax^2+bx^2+cx+dと同じになる というところまで様々な方のおかげでたどり着いたのですが、右辺をかけると、-38x^3が出たりx^2の係数に虚数があったりとx^4+ax^2+bx^2+cx+dに合わなくなってしまったんです どうすればいいでしょうか?教えてください

  • 数学 問題

    実数a,bを係数とする3次方程式x^3-ax+b=0がある。この方程式の解の1つが1+iのとき、a,bの値と他の2つの解を求めよ。という問題の解き方が分からないので教えて頂けると助かります。

  • 整数問題?

    a,bを実数とし、f(x)=x^2+ax+b とおく。 (1)2次方程式f(x)=0の2つの解が、p±qi(p,qは実数 iは虚数単位)とかけて、       q≦-√3(p-c)かつ q≧√3(p-c)(cは定数)    を満たすとき、a,bの満たすべき条件を求めよ。 (2)a,bが(1)の条件を満たしながら動くとき、f(1)の最小値を求めよ。 正答を渡されていないので、答えはないです。どう考えればいいのか分からないので、よろしくお願いします。

  • 高次方程式と虚数解

    3次方程式x^3+ax^2+bx+2=0が1-iを解にもつとき、 実数の係数a、bの値を求めよ。また、他に解を求めよ。 この問題はどうやってとけばいいですか?