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高次方程式と虚数解

3次方程式x^3+ax^2+bx+2=0が1-iを解にもつとき、 実数の係数a、bの値を求めよ。また、他に解を求めよ。 この問題はどうやってとけばいいですか?

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  • ベストアンサー
  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)
回答No.3

実数係数高次方程式の性質から x=1-i が解ならそれと共役なx=1+iも解になる。 つまり 左辺は (x-1+i)(x-1-i)=x^2-2x+2 という因数をもつ。 したがって、もう1つの解をx=cとおくと x^3+ax^2+bx+2=(x^2-2x+2)(x-c)=x^3-(c+2)x^2+2(1+c)x-2c 係数を比較して a=-c-2 b=2(1+c) 2=-2c a,b,cについての連立方程式を解いて c=-1,a=-1,b=0 元の3次方程式のに代入して x^3-x^2+2=(x^2-2x+2)(x+1)=0 x=1±i, -1

shinnkira
質問者

お礼

ありがとうございます^^

その他の回答 (2)

  • 178-tall
  • ベストアンサー率43% (762/1732)
回答No.2

実係数であれば、1-i が零点なら 1+i も零点。    ↓ x^2 - 2x + 2 で割り切れる。    ↓ 2a+b+2=0 かつ -2a=0 …では?    

  • aokii
  • ベストアンサー率23% (5210/22062)
回答No.1

まずは1-iをxに代入してみましょう。

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