- ベストアンサー
共役複素数
方程式x^4+ax^2+bx^2+cx+d=0は4つの虚数解を持つ その解の内、ある2つの和は19+2iであり、他の2つの積は4+5iである このときa、b、c、dの値を求めよ 2つの解α、βを、 α=p+qi、β=r+si とおくと、 共役複素数同士の和は実数だから α+βか¬α+¬βが19+2i、残った方の積が4+5iなのはわかりましたがここからがわかりません 解き方を教えてください
- 数学・算数
- 回答数6
- ありがとう数1
- みんなの回答 (6)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
>(x - s)(x - t)=x^2-(s+t)x+st >で、このときs+tが19+2i(また、s~t~が4+5i)だとするとx^2 - (19+2i)x + (4-5i)になりますが、 >s~+t~が19+2iの場合はならないと思います (お尋ねの主旨をつかめてませんが) s~+t~ が 19+2i なら、st = 4+5i でしょうから、 (x - s~)(x - t~) = x^2 - (19+2i)x + (4-5i) (x - s)(x - t) = x^2 - (19-2i)x + (4+5i) なのでしょうね。 右辺の積は、前と同じになりそう。
その他の回答 (5)
- uyama33
- ベストアンサー率30% (137/450)
a、b、c、d は、実数ですか? それとも複素数ですか? もし、実数なら、実数を係数とする方程式の解は どんな性質を持ちますか? 教科書にちょっとだけ書いてあるか、 先生が話したか、 受験参考書には書いてあるはずです。 複素数の共役 のところを調べて下さい。
補足
すみません、実数です 共役複素数も解になると書いてあります だから解をα、βとおくと共役複素数¬α、¬βも解になり、α+βか¬α+¬βが19+2iと選択肢が分かれてしまいますのでわからなくなってしまいました
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
>st=4-5i s~t~=4+5i のように2つの複素数の和や積は共役複素数の和や積の共役複素数になるのはなぜですか? なぜ?と訊かれると答えに詰まりますが、試算で確かめられますよ。 s = d + ei, t = f + gi とでもすれば、積の場合ならば、 st = (df - eg) + (dg + ef)i s~t~ = (df - eg) - (dg + ef)i = (st)~ >(x - s)(x - t) = x^2 - (19+2i)x + (4-5i)じゃないのを想定したものは考えなくていいんですか? 問題が言ってることをそのまま式にしたもの。 何か、見逃していそうですか?
補足
確かになりそうです ありがとうございました (x - s)(x - t)=x^2-(s+t)x+st で、このときs+tが19+2i(また、s~t~が4+5i)だとするとx^2 - (19+2i)x + (4-5i)になりますが、s~+t~が19+2iの場合はならないと思います
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
途中ですっぽかされたので、ストーキング。 (x - s)(x - t) = x^2 - (19+2i)x + (4-5i) …(1) と想定した場合、 (x - s~)(x - t~) = x^2 - (19-2i)x + (4+5i) …(2) だから、 (1) と (2) の右辺同士を掛けたものが答案。
補足
すみません、新たに意見を募りたいと思いまして st=4-5i s~t~=4+5i のように2つの複素数の和や積は共役複素数の和や積の共役複素数になるのはなぜですか? また、(x - s)(x - t) = x^2 - (19+2i)x + (4-5i)じゃないのを想定したものは考えなくていいんですか?
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
「分かる方法がある」から書いてます. ああ, 「『残った方』じゃない 2つの積」の代わりに「残った方の和」を求めてもいいね. 同じことだし.
補足
分かる方法はなんでしょうか?
関連するQ&A
- 共役複素数
a、b、c、dは実数の定数である 方程式x^4+ax^2+bx^2+cx+d=0は4つの虚数解を持つ その解の内、ある2つの和は19+2iであり、他の2つの積は4+5iである このときa、b、c、dの値を求めよ 2つの解α、βを、 α=p+qi、β=r+si とおくと、その共役複素数 ¬α=p-qi、¬β=r-si も解で、 x^4+ax^2+bx^2+cx+d=(x-α)(x-β)(x-¬α)(x-¬β)と表せられる ここでα+β=19+2iとすると、 (x-α)(x-β)=x^2-(19-2i)x+(4+5i) (x-¬α)(x-¬β)=x^2-(19+2i)x+(4-5i) であり、x^4+ax^2+bx^2+cx+d=(x-α)(x-β)(x-¬α)(x-¬β)と表せることから、この右辺の積がx^4+ax^2+bx^2+cx+dと同じになる というところまで様々な方のおかげでたどり着いたのですが、右辺をかけると、-38x^3が出たりx^2の係数に虚数があったりとx^4+ax^2+bx^2+cx+dに合わなくなってしまったんです どうすればいいでしょうか?教えてください
- ベストアンサー
- 数学・算数
- a、b、c、dは実数の定数である
方程式x^4+ax^2+bx^2+cx+d=0は4つの虚数解を持つ その解の内、ある2つの和は19+2iであり、他の2つの積は4+5iである このときa、b、c、dの値を求めよ 解の2つをα、βとするとそれらの共役複素数も解なのはわかりましたがそこからを教えてください
- 締切済み
- 数学・算数
- 共役な複素数について
こんにちは。 高1のflankです。 係数が実数である高次方程式が 虚数解a+biを解にもつならば、それと共役な複素数である a-biもこの方程式の解である。 と教科書に書いてあったのですが、 なぜこのように言えるのでしょうか・・・。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素数 2次方程式
虚数を係数にもつ2次方程式についての質問です 問題文 x^2+(2k-i)x+8+2i=0 が実数解を持つように、定数kの値を定めよ またそのときの実数解を求めよ という問題で、 (x^2+2xk+8)+(-x+2)i=0 と整理し、複素数の相等を利用して答えを出すのはわかります。 答えは、k=-3 x=2 となりました。 2次方程式なので、解は2つあると思います そこで、 もう一方の解をβとして、 解と係数の関係で α+β=6+i(もとの2次式にkの値を代入して出した) とするとβ=4+i となり、題意を満たさないのでこれは答える必要はないのですが 複素数が解のとき、共役な複素数はセットで出てきますよね? なので、x=2、4+i というのはおかしいと思いますが、どうしてこうなってしまうのか分かりません…… どこかに間違いがありますか? それとも、このような解もありうるのでしょうか? どなたか回答よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 共役複素数
こんばんは。高校数学II、共役複素数についての質問です。 私が使っている参考書(数学公式180)に記載されている公式の解説がわかりません。 <公式>実数を係数とするn次方程式 f(x)=0 について、 複素数 α=a+bi が解ならば 共役複素数 αバー=a-bi も解である。 <解説>実数を係数とするn次方程式 f(x)=Anx^n+A(n-1)x^(n-1)+A(n-2)x^(n-2) +…+A1X+A0=0 があるとき、f(α)=0とすると Anα^n+A(n-1)α^(n-1)+…+A1α+A0=0 この両辺の共役複素数を考えると、実数については Aバーk=Ak(k=0,1,2,…,n)が成り立つので Anαバー^n+A(n-1)αバー^(n-1)+…+A1αバー+A0=0 すなわち、f(αバー)=0が得られる。 ↑この解説について??です。 わかる方、もしくは他の解説がありましたら教えていただけるとありがたいです。よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
全てわかりました 前の質問も含めてありがとうございました