共役複素数

質問

a、b、c、dは実数の定数である
方程式x^4+ax^2+bx^2+cx+d=0は4つの虚数解を持つ
その解の内、ある2つの和は19+2iであり、他の2つの積は4+5iである
このときa、b、c、dの値を求めよ

2つの解α、βを、
α=p+qi、β=r+si
とおくと、その共役複素数
￢α=p-qi、￢β=r-si
も解で、
x^4+ax^2+bx^2+cx+d=(x-α)(x-β)(x-￢α)(x-￢β)と表せられる
ここでα+β=19+2iとすると、
(x-α)(x-β)=x^2-(19-2i)x+(4+5i)
(x-￢α)(x-￢β)=x^2-(19+2i)x+(4-5i)
であり、x^4+ax^2+bx^2+cx+d=(x-α)(x-β)(x-￢α)(x-￢β)と表せることから、この右辺の積がx^4+ax^2+bx^2+cx+dと同じになる
というところまで様々な方のおかげでたどり着いたのですが、右辺をかけると、-38x^3が出たりx^2の係数に虚数があったりとx^4+ax^2+bx^2+cx+dに合わなくなってしまったんです
どうすればいいでしょうか？教えてください

回答No.3

rnakamra · ベストアンサー

これ、aはx^3の係数ですね。3次の係数が"0"になることはあり得ません。
解と係数の関係からx^3の係数は-38になります。
x^2の項が二つあるところで問題を疑うべきです。
(もし、a,bが両方ともx^2の係数ならa,bを決定することはできません。a+bの値が決まりますが)

x^2の係数に虚数が出てくる、というのはたぶん計算間違いでしょう。
複素共役な数同士を足したりかけたりしたものは必ず実数になるためこの式を展開したもの係数は実数だけになるはずです。

お礼

確かに問題文の印刷ミスでした
答えを確認したらx^3となっていました

計算ミスでしたか
ありがとうございました

回答No.2

mister_moonlight

4次方程式の　解と係数　を使えばよい。

x^4+p*x^3+q*x^2+r*x+s=0　の　4つの解を　a、b、c、dとすると
a+b+c+d=-p、ab+ac+ad+bc+bd+cd=q、abc+abd+acd+bcd=-r、abcd=s　となる。

証明は簡単。
x^4+p*x^3+q*x^2+r*x+s=(x-a)*(x-b)*(x-c)*(x-d)　として　右辺を展開し、左辺の係数と比較するだけ。
これは、特殊なことではないから　入試でも“証明なしで”使ってもかまわないだろう。

お礼

確かに解けました
ありがとうございました

回答No.1

178-tall

みごとに引っかかりました。

>方程式x^4+ax^2+bx^2+cx+d=0

今ごろよく見ると、3 次係数が零！

>(x-α)(x-β)=x^2-(19-2i)x+(4+5i)
>(x-￢α)(x-￢β)=x^2-(19+2i)x+(4-5i)

では対応不能なのです。
(x^2 + r) の因数をもたせて再考、ですね。

お礼

申し訳ありません
こちらが持ってる本の問題文の印刷ミスでax^3が^2となっていました
178-tallさんの答えは正しかったです
ありがとうございました

補足

対応不能なのは何故ですか？
まだ5つ目の解があるってことですか？