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数学 問題

実数a,bを係数とする3次方程式x^3-ax+b=0がある。この方程式の解の1つが1+iのとき、a,bの値と他の2つの解を求めよ。という問題の解き方が分からないので教えて頂けると助かります。

みんなの回答

  • staratras
  • ベストアンサー率40% (1426/3487)
回答No.3

x^3-ax+b=o …(1) x=1+i は方程式(1)の解の一つだから、(1)に代入すると (1+i)^3-a(1+i)+b=0 1+3i-3-i-a-ai+b=0 (b-a-2)+(2-a)i=0 したがって b-a-2=0 …(2) かつ  2-a=0  …(3) (3) から a=2 (2)へ代入すると b=4 このとき(1)はx^3-2x+4=0 (x+2)(x^2-2x+2)=0 これを解くと、x=-2,x=1+i,x=1-i 答え a=2,b=4、残りの解は x=-2,x=1-i。 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 別解  (一つの解がx=1+i ならばx=1-iも(1)の解である。ということを使ってよければ) 残る解をyとすると 解と係数の関係から 3つの解の和=2+y=0 よりy=-2 2つの解の積の和=-2(1+i)-2(1-i)+(1+i)(1-i)=-2=-a より a=2 3つの解の積=-2(1+i)(1-i)=-4=-b より b=4   答えは上と同じ。   

noname#222520
noname#222520
回答No.2

3次方程式は必ず1つの実数解をもつので、これをx=cとすると、与式は次のようにおけます。 (x-c)(x^2+2dx+e)=0 x^2+2dx+eにおいて、xの係数を2dとおいた理由は、因数分解しやすくするためです。 x^2+2dx+eを因数分解すると、 x^2+2dx+e =(x+d)^2+e-d^2 =(x+d)^2+{√(e-d^2)}^2(e>d^2とします。) =(x+d)^2-{i√(e-d^2)}^2 ={(x+d)+i√(e-d^2)}{x+d)-i√(e-d^2)} =[x+{d+i√(e-d^2)}][x+{d-i√(e-d^2)}] これから、x^2+2dx+e=0の解は、 x=-d±i√(e-d^2) 1つの解がx=1+iであるから、 -d=1→d=-1、e-d^2=1→e=d^2+1=2(e>d^2を満たします。) 他の解は、x=1-i 以上から、与式の左辺は、 (x-c)(x^2-2x+2) これを展開すると、 x^3-(c+2)x^2+2(c+1)x-2c 元の式と係数を比較して、 0=c+2→c=-2(他の解は、x=-2)、-a=2(c+1)=-2→a=2、b=-2c=4 ※検算 x^3-2x+4において、x=-2とすると、(-2)^3-2*(-2)+4=-8+4+4=0

  • bran111
  • ベストアンサー率49% (512/1037)
回答No.1

多項式方程式がa+biという解を持つとき、必ず共役複素数a-biも解として持つという定理があります。教科書に必ず書いてありますので確認してください。 よって 3次方程式x^3-ax+b=0 の解をα, β,γとすると α=1+i β=1-i とおけます。 解と係数の関係より α+ β+γ=2+γ=a α β+ βγ+γα=(1+i)(1-i)+γ(α+β)=2+2γ=0 ⇒ γ=-1 αβγ=(1+i)(1-i)γ=2γ=b 以上から γ=-1, a=1,b=-2

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