４支点の反力の求め方

質問

長方形の板（長辺Lx短辺M）の4隅を支持して、任意点（板の中央は除きます）に、
垂直集中荷重Wが作用します。
このとき長方形の板の4隅に生じる反力を求める方法を教えてください。
（板の重量は無視、板に生じる曲げモーメント、たわみなどは一切考えません。
ただ単純に、作用があれば、反作用があるだろうということだけです。）
４っつの方程式が必要かと思います。
1.Σ垂直方向の力＝0
2.Σ原点まわりのモーメント＝0　　（荷重点を原点とします）
これで３っつの方程式は得ることができると思います。
あと一つの方程式はどうすれば宜しいのでしょうか。
それとも別の考え方をするのでしょうか。
宜しくお願いいたします。

回答No.2

noname#221368 · ベストアンサー

厳密に言うと、これは3次元での物体の釣り合い問題になるので、支点反力は3成分を持ち、3×4＝12個の未知数を定める必要があります。一方釣り合い方程式は、

　　1.Σ垂直方向，Σ水平縦方向，Σ水平横方向の力＝0で、3つの式
　　2.Σ原点まわりのモーメント＝0　は、ベクトル方程式として正味3つの式

となり、12－6＝6本の式が足りなくなります。

　しかし反力の水平8成分は明らかに0なので、これらを条件として追加すると、6＋8＝14個の条件式になり、今度は条件過多で解けなくなるように見えますが、水平8成分＝0を追加すると、Σ水平縦方向の力＝0，Σ水平横方向の力＝0の2条件が、0＝0で無意味になり、Σ原点まわりのモーメント＝0の垂直成分も自明に0で、有効な条件が3個減ります。

　結局未知数12個に対して、14－3＝11個の条件しかなく、あと一つ方程式が足りないというのが、この問題の正確な状況です。

　物体全体の釣り合い条件＋付加条件で反力が決まらない問題を、不静定問題と言います。逆に静定問題の場合は、支点と着力点の位置と荷重が同じなら、板が（物体が）どんな形状であっても、どんな変形を起こそうと、反力は同じになります。

　不静定問題では、物体の形や、変形に対する材料定数を考慮して、つまり物体の変形挙動まで考慮して初めて、反力が決まります。このケースだとふつうは、変形挙動の計算のために、薄板の曲げ理論を使いますが、デザインデータブックなどには、その結果が、典型的な荷重状態については載っています。

お礼

ddtddtddtさん、ありがとうございます。

回答No.3

noname#221368

#2です。

＞（板の重量は無視、板に生じる曲げモーメント、たわみなどは一切考えません。ただ単純に、作用があれば、反作用があるだろうということだけです。）

　・・・という事でしたか。そうであっても、#2で述べたような手順は省略できないでしょう。この場合は、有限の板剛度Ｄで計算しておいて、Ｄ→∞とした極限解として得られます。

　いずれにしろ、釣り合い条件だけでは、反力は一意に決められません。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

支持力は垂直に限るのでしょうか？

もしそうなら、2点支持では力は一意に定まるので
4点支持なら解は一意に定まらないはずです。

お礼

tknakamuriさん、ありがとうございます。
支持力は垂直に限ります。