解き方を教えて下さい（流水算？）

質問

まず、問題が、
『ある水族館の開館時刻は午前９時であり、開館時刻には、既に何人かが並んで開館を待っている。
入館待ちの行列は、博物館の入り口を５つにすると開館時刻の４０分後に、入り口を４つにすると開館時刻の５５分後になくなるという。この時、入り口を３つにした場合の行列がなくなる時刻に最も近いのはどれか。ただし来場者は開館後も一定のペースでやってきており、またすべての入り口において入館していくペースは同一である。』

とあるのですが、

１．これはいわゆる「流水算」というものですか？？

２．数学、算数が全く苦手な文系頭の私にでもわかるようなご解説をどなたかお願いします。

回答No.3

noname#175206 · ベストアンサー

あえて、文字式を使います。
　数字だけで解こうとするより手間はかかりますが、特殊な計算方法をいろいろ覚えるより、汎用性が高く、また誰でも問題を解けます。
　少なく覚えて、たくさん練習するのがコツだというのが、私の考えです。私は子どものころから今に至るも、愚鈍なもので。技をたくさん覚えられず、使いこなせないのです。
　問題を整理して必要な文だけ取り出し、ちょっと整えてみます。

●解くために与えられた条件
１．入り口を５つにすると開館時刻の４０分後に列がなくなる
　→5つの入り口が40分間に通した人数が、最初に並んでいた人数と、開館後40分間に到着した人数。
２．入り口を４つにすると開館時刻の５５分後に列なくなる
　→4つの入り口が55分間に通した人数が、最初に並んでいた人数と、開館後55分間に到着した人数。

○求めたい答
　入り口を３つにした場合の行列がなくなる必要時間は？
（時刻は必要時間が分かれば簡単だし、時刻で計算すると面倒というのが経験的事実）

　分からない数をアルファベットにします。
　開館前に並んでいる人数をx[人]とします。
　開館後も人は来ますから、1分間に到着して列に加わる人をy[人/分]とします。
　一つの入り口が、1分間に通せる人数をz[人/分]とします。

　１．を数式にすると→　40・5z＝x＋40y　∴200z＝x＋40y――(1)
　２．を数式にすると→　55・4z＝x＋55y　∴220z＝x＋55y――(2)

　式の数だけアルファベットで表した数を式から消せます。
　勘ですが、最初に何人並んでいたかは大事ではなさそうです。
　とりあえず(2)から(1)を引いてみます。

　220z＝x＋55y
－200z＝x＋40y
――――――――
　20z＝15y
∴z＝(3/4)y　――(3)

　奇妙な式です。zは一つの入り口が1分間に通せる人数で、列に加わる人に関係ないはずです。でも関係式が出てきます。
　そこで、y/zつまり、「1分間に列に増える人数/1分間に列から減る人数」を考えると、y/z＝4/3。

　yは入口の数に関係しない人数で、zは一つの入り口が通す人数です。一つの入り口だと、こうなるわけですが、これが非常に重要な意味を持っています。

　(3)では、y/z＞1ですが、このときは時間と共に、幾らでも列が長くなって行きます。1分間に到着する人が、中へ入る人より多いからです。
　もし、これを1より小さくすれば、列の人数は自然に0人になります。その後も列は0人のままです。到着する人数より、中へ入れる人数が多いからです。
　ちなみに、ちょうど1だと、列は全く同じ人数のままです。

　スーパーのレジなどで長い列のとき、レジを1つ増やしただけで、どんどん列が短くなって、しまいにはレジのほうが客待ち状態になったりするのは、このためです。

　y/z＝4/3で列がいつまでもなくならないとしても、これは入口が1個の場合ですから、2個なら半分の2/3（＜1で最低2個必要が分かる）になります。

　(3)を(1)や(2)に代入すれば、

　200・(3/4)y＝x＋40y　∴110y＝x
　220・(3/4)y＝x＋55y　∴110y＝x　――(4)

　もちろん、このように同じになります。

　ここで、入口がa個あるとしましょう。a個の入り口だとすると、ay/zで、これが1より小さければ、列の人数は減って行き0で安定します。

　a個の入り口でt分間で列が無くなると考えてみましょう。(4)も使って整理します。

　t・az＝x＋ty　∴t＝x/(az－y)＝110y/(az－y)＝(110・y/z)/(a－y/z)　――(5)

　これが、この水族館で、一つの入り口が1分間に通せる人数が変わっても、入口が幾つでも、いつでも使える公式です。

　今は、実測によりy/z＝4/3は分かっていて、入口を3個にしてみる、つまりa＝3ですから、それを入れてみます。

　t＝(110・y/z)/(a－y/z)＝(110・4/3)/(3－4/3)＝(440/3)/(5/3)＝440/5＝88

　88分間となります。

　大変面倒です。
　しかし、誰でも確実にできるのが、こうした、数を文字で置き換えておく方法です。入り口の数といった分かっている数を変えた場合の公式も出ます。
　それが中学校で習った、連立方程式の威力なわけです。

お礼

お礼が遅くなり申し訳ございません。ご回答ありがとうございました。

回答No.4

noname#175206

#3です。間違いがありました。

誤>　ここで、入口がa個あるとしましょう。a個の入り口だとすると、『ay/z』で、これが1より小さければ、列の人数は減って行き0で安定します。
正>　ここで、入口がa個あるとしましょう。a個の入り口だとすると、『y/(az)』で、これが1より小さければ、列の人数は減って行き0で安定します。

　1個の入り口でy/z、a個の入り口で人を通すのに、y/zをa倍して増やしまっては列が長くなるばかりでした。
　1/a倍で減っていかなければいけません。2個の入り口で半分と書いておきながら、もうこんな当たり前のことを間違うとは（よくやってしまいますorz）。

　その後の式は間違っていません。説明の間違いです。

　以上のように訂正して、お詫び申し上げます。

お礼

丁寧にご解説下さり、本当にありがとうございます。

回答No.2

noname#166245

１．これはニュートン算というものになります。

２．入り口１つを1分間で通過する人数をA人とします。
（文字がいやならば◯でもいいですよ＾＾）

入り口５つで40分で通過した人数は、A ｘ 5 ｘ 40 ＝ 200A　人です。
入り口４つで55分で通過した人数は、A ｘ 4 ｘ 55 ＝ 220A　人です。

この２つの差20A 人の意味を考えます。

これは15分（55分-40分）で新たに並んだ人の人数です。

すると、1分で新たに並ぶのは、20A / 15 ＝ （4/3）A 人 だとわかります。

1分で新たに並ぶのは、（4/3）A 人 なのですから
40分で新たに並んだのは、（4/3）A ｘ 40 ＝ （160/3）A 人です。

40分（入り口5つ）で通過した人数は200A 人なのですから、
もともと並んでいた人数は、この通過人数200A 人のうち、
新たに並んで通過した人の数（160/3）A 人を引けば
求まります。つまり （200-160/3）A ＝ （440/3）A 人 です。

さて、入り口を３つにします。
このとき、1分間で行列がどのくらい減るかを考えます。
それは入り口３つを通過する人数から新たに来た人数を引いた数です。
つまり、3A - （4/3）A ＝ （5/3）A 人 です。

もともと 、（440/3）A 人並んでいて、１分で（5/3）A 人ずつ減っていくので
（440/3）A ÷ （5/3）A ＝ 88分 で行列はなくなります。（答）

お礼

お礼が遅くなり申し訳ございません。ご回答ありがとうございました。

回答No.1

kumada-

自信が無いですが、「80分」は選択肢にありますか？あれば、合っていると思いますけど。