2012年度ラ・サール中の算数入試問題(1)

質問

添付画像のような長方形 ABCD があります。辺 BC 上に点 E，辺 CD 上に点 F があり，
BE:EC=2:3，CF:FD=1:1
を満たしています。
(1)△AEDと△DEFの面積比を求めなさい。
これは容易に求められました。10:3 です。
(2)△EFG の面積が 6 cm² のとき，長方形 ABCD の面積を求めなさい。
これが解けませんでした。ベクトルを用いるのは禁じ手だし……　答えは 65 cm² です。
解法を教えてください。

回答No.4

KEIS050162 · ベストアンサー

方針としてはこれが判り易い気がします。

AFの延長線とBCの延長線を引き、その交点をHとする。
△GADと△GHEの相似に着目して、この比から、△EFGと△DFGの面積の比を割り出し、
１）の答えを利用し、△EFGFが全体の何分の一に相当するかを算出し、そこから長方形全体の面積を割り出す。

△GADと△GHEのの比は、直角三角形FADとFHDが合同からすぐに割り出せる。（５：８）
従って、△EFGと△DFGの面積の比は、８：５。△DEFの面積は６×（８＋５）／８

１）の答えから、全体の面積は、△AEDの２倍なので、

全体　＝　△DEF　÷　３／（１０×２）　＝　６　×　（８＋５）／８　×　２０／３　＝　１３　×　５　＝６５

※余談、分数の計算は最後に一回だけやれば、計算が楽です。

ご参考に。

お礼

簡明なご回答 誠にありがとうございました。

回答No.5

ferien

最初、全然分かりませんでしたが、No.4さんの
>AFの延長線とBCの延長線を引き、その交点をHとする。
がヒントになりました。
△ＡＤＦと△ＨＣＦは合同です。
ＤＦ＝ＣＦ，角ＡＤＦ＝角ＨＣＦ＝９０度、角ＡＦＤ＝角ＨＦＣ（対頂角）
より、１辺と両端の角が等しいからです。
よって、ＡＤ＝ＨＣから、
ＡＤ：ＨＥ＝ＨＣ：ＨＥ＝５：（５＋３）＝５：８
△ＡＤＧと△ＨＥＧとは相似です。
ＡＤ平行ＨＥより２組の錯角が等しいから。
よって、ＤＧ：ＧＥ＝ＡＤ：ＨＥ＝５：８
これから、△ＤＦＧ：△ＥＦＧ＝５：８だから
△ＤＦＧ＝(5/8)△ＥＦＧ＝(5/8)×６＝１５／４
よって、△ＤＥＦ＝６＋（１５／４）＝３９／４
（１）より、△ＡＥＤ：△ＤＥＦ＝１０：３で、△ＡＥＤの２倍が長方形だから
長方形ＡＢＣＤ：△ＤＥＦ＝２０：３
よって、
長方形ＡＢＣＤの面積＝（２０／３）×△ＤＥＦ
　　　　　　　　　　＝（２０／３）×（３９／４）
　　　　　　　　　　＝６５ｃｍ2
のように考えてみました。

お礼

ご回答ありがとうございました。

補足

入試算数の図形問題はベクトルを利用できないのがつらいところですな。

回答No.3

noname#166245

（２）は EG：GDが必要になります。
それを求めてみます。

長方形ABCDの面積を10とします。
△ABE = 10 x 1/2 x 2/5 = 2
△ADF = 10 x 1/2 x 1/2 = 2.5
△EFC = 1/2 x △ECD = 1/2 x 10 x 3/5 x 1/2 = 1.5

△AEF は 長方形ABCDから上記３つの△を引けばいいので、
10 - 2 - 2.5 - 1.5 = 4

すると
△AEF：△ADF = 4：2.5 = 8：5　となりますが、
これがEG：GDに等しいことがお分かりになりますでしょうか。

△AEF：△ADF = 8：5　で両者とも底辺AEと考えればこれは高さの比です。
この高さの比は△GEF：△GDFも共通です。
つまり△GEF：△GDF＝8：5です。
今度はEGとGDを底辺と見て△GEFと△GDFを見れば高さが共通ですので
この比は底辺の比になります。よってEG：GD＝8：5

以下は省略しても問題ないと思いますので略します

6 x 13/8 x 10/3 x 2 = 65

お礼

簡明なご回答誠にありがとうございました。

回答No.2

151A48

EでＢＣに垂線。ＡＦ，ＡＤとの交点をＨＩとする。
ＩＨ：ＨＥ＝１：４
ＥＧ：ＧＤ＝８：５
のように比が分かっていくので，面積比から逆算。

お礼

なるほど，△DEF=6×(13/8)=39/4，△DEC=(39/4)×2=39/2，△ABE=(39/2)×(2/3)=13，長方形ABCD=((39/2)+13）×2=65 となるわけですね。ご回答誠にありがとうございました。

補足

>EでＢＣに垂線。ＡＦ，ＡＤとの交点をＨＩとする。
「点 E から辺 AD に向かって垂線を引き，AF との交点を H，AD との交点を I とする」ですね。
意味がぱっと伝わりにくいです。国語の勉強をやり直されることをお勧めします。

回答No.1

WiredLogic

(1) が容易に分かったのであれば、

ΔADF:ΔAEFなども、楽勝で求められ、

ΔADG:ΔAEG = DG:FG や ΔFDG:ΔFEG = DG:FG、
これらから、ΔADF:ΔAEF = DG:FG になることも、
一目で解りますよね。

すると、これで、DG:FGが解り、
それと、ΔEFGの面積から、ΔDFG,ΔDEFの面積が…
後は一直線ですね。

お礼

ご回答ありがとうございました。

補足

具体的にどのようにして求まるのか，詳しく解説してください。