- ベストアンサー
楕円 ax^2+2bxy+cy^2≦1 の面積
以前にも同じ質問をしましたが、良い手がかりをつかめなかったので、もう一度質問します。 a,b,c は定数とします。 ac-b^2>0 , a>0 のとき、楕円 E: ax^2+2bxy+cy^2≦1 の面積 ∬_E dxdy を求めるとき、どのようなことをすればよいでしょうか。
- mage_ruisseau
- お礼率50% (8/16)
- 数学・算数
- 回答数4
- ありがとう数3
- みんなの回答 (4)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
以前の質問で、 >楕円 D:(ax+by)^2/α^2+(cx+dy)^2/β^2≦1 に関して が分かったのなら、 ax^2+2bxy+cy^2=(ax+by)^2/a+y^2/{a/(ac-b^2)} とすればいい。
その他の回答 (3)
- WiredLogic
- ベストアンサー率61% (409/661)
求めたいのが「面積」なら、 標準形に直して、π×(長径の半分)×(短径の半分)、 が筋だと思いますが、 質問者さんは「積分の仕方」が知りたい訳ですね。 高校の円の問題でも、大問の中で、 1. 「積分」4∫[0,r]√(r^2-x^2)dx を、置換積分で求める、 2. その「積分」が、円・x^2+y^2=r^2の「面積」だということを示す 3. 逆に、簡単に求まる、円の「面積」から、「積分」を求める などのようなことをさせて、理解を深める問題もありますから、 目標が「面積」を求めることで、標準形に直す部分が理解できるなら、 1を求めるのは、他の回答者さんがおっしゃるように、無駄ですが、 上の例のような意味で、例の1の部分を求めたい、ということなら、 意味があることかと、思います。 そこらへんの事情があれば、ハッキリと示された方がよかったように思います。 さて、本題ですが、テキストだけで書くと、式がグチャグチャになって、 読みにくく、タイプミスなども残っていると思うので、 解法と言うより、ヒントのつもりで使って、 自分で手書きしながら、計算してみてください。 筋自体は、別に難しくないと思います。 ax^2+2bxy+cy^2≦1 ⇔ ax^2 + 2bxy + cy^2-1 ≦ 0 なので、 これを a>0が使えるように、xについての不等式と見て、 解いてみます。~=0という方程式の解は、 x = [-by ± √{(-by)^2 - a(cy^2-1)}]/a = {-by ± √(b^2*y^2 - acy^2 + a)}/a = [-by ± √{a - (ac - b^2)(y^2)]/a となり、xが実数解を持つ条件は、 D/4 = a - (ac - b^2)(y^2) ≧ 0 から、y^2 ≦ a/(ac-b^2)、 a>0, ac-b^2>0 なので、|y| ≦ √{a/(ac-b^2)} したがって、不等式の解は、 [-by - √{a - (ac - b^2)(y^2)}]/a ≦ x ≦ [-by + √{a - (ac - b^2)(y^2)}]/a これらから、∬_E dxdy = ∫[-√{a/(ac-b^2)},√{a/(ac-b^2)}]dy * ∫[[-by - √{a - (ac - b^2)(y^2)}]/a,[-by + √{a - (ac - b^2)(y^2)}]/a] dx = ∫[-√{a/(ac-b^2)},√{a/(ac-b^2)}]dy * [x]_[[-by - √{a - (ac - b^2)(y^2)}]/a,[-by + √{a - (ac - b^2)(y^2)}]/a] = ∫[-√{a/(ac-b^2)},√{a/(ac-b^2)}]dy * 2{√{a + (ac - b^2)(y^2)}/a = 2∫[-√{a/(ac-b^2)},√{a/(ac-b^2)}][{√{a - (ac - b^2)(y^2)}/a]dy = (4/√a)∫[0,√{a/(ac-b^2)}]{√{a - (ac - b^2)(y^2)}dy (∵ 被積分関数は、偶関数だから) ここで、y = √{a/(ac-b^2)} * sinθ と置換、… という手順で、積分の計算ができます。
お礼
なるほど。 詳しい説明ありがとうございます。
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
a>0,ac>b^2≧0よりc>0 x=(X+Y)/√(2a),y=(Y-X)/√(2c)で変数変換すれば、 楕円の標準形になります。 その標準形を (X/A)^2+(Y/B)^2≦1 (A>0,B>0) と置き直します。 そして更に X=Arcosθ,Y=Bsinθ(0≦r≦1,-π≦θ<π)と変数変換すれば 逐次積分で変数分離できて簡単に積分が実行できると思います。 まず、条件を満たす簡単なa,b,cを与えて積分をやってみると 理解出来るかと思います。
お礼
そのように変換すればよいのですね。 ありがとうございます。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
http://okwave.jp/qa/q7232028.html で十分だと思うけどなぁ.... 「積分しない」とは一言も書いてないし.
補足
どのように回転させればよいかわからなかったので・・・
関連するQ&A
- 傾いた楕円の方程式から中心と長軸短軸を出す
今、 Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 という式から、 中心 x0, y0 長軸、短軸 a b 傾き θ を求めたいのですが、どうすればよいでしょうか? A、B、C、D、E、Fは定数です
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 楕円内の三角形の面積
楕円2x^2+y^2=4上の点A(1,√2)をとる。直線l:y=ax+bは点Aにおける楕円の接線と平行で,楕円と相異なる2点で交わるものとする。次の問いに答えよ。 (1) 傾きaの値を求めよ。 (2) 直線lが楕円と相異なる2点で交わるようなbの範囲を求めよ。 (3) 楕円と直線lとの2交点をB、Cとする。bが(2)で求めた範囲を動くとき、△ABCの面積が最大となるbを求めよ。 (1)は-√2、と(2)は-2√2<b<2√2と問題なく解けました。(3)ですが、点B、Cの座標をbで表しB、C間の距離を求め、点Aと直線lの距離を出して面積をbで表せたのですが、その後の計算で√が出てきて困ってしまいました。そこの計算の仕方、あるいは別の面積の出し方などありましたら教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 楕円体の表面積
楕円面(x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1で囲まれる立体について体積,表面積を求めよ.という問題を解いています. 体積は極座標に変数変換して,容易に4πabc/3と求まります.表面積についてですが模範解答では, 「楕円体の主軸のうちでaを基準にすると,b,cは b=βa,c=γa (β,γは定数) と表せる.よって体積をVとすると V=4πβγa^3/3 となる.これをaについて微分すると表面積Sは S=4πβγa^2 β,γを上式に当てはめると S=4πa^4/bc 」 となっています.ここで分からないのは,体積を微分して表面積を出すところです.たしかに,球の場合(a=b=c)は厚みdaの薄皮を重ねていけば体積になります.しかし楕円体の場合,薄皮の厚みは一定ではないのでこの方法で正しいのでしょうか? また,楕円体の表面積について調べてみると一般には複雑な式で計算されるようです. さらに,解答最後の方の,Sにβ,γを当てはめるところで,β=b/a,γ=c/aなので S=4πbc になるのでは?と思います.しかしこれではSはaに影響されないことになるのでおかしいとは思うのですが. 質問が多くすみませんが,どなたか教えていただけませんか?
- 締切済み
- 数学・算数
- 多変数関数の極値について
(1)z=x^4+y^4-a(x+y)^2(aは正の定数) (2)z=ax^2+2bxy+cy^2 の極値を求めてもらえないでしょうか。 両者ともB^2-AC=0になるところがあり判定の仕方がよくわかりません
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 接線があることを示す
C={(x,y)∈R^2,ax^2+bxy+cy^2+1=0} (a,b,c)≠(0,0,0) というxy平面の図形がC≠0でC上のどの点でも接線が存在することを示すという問題があるのですが、 ax^2+bxy+cy^2+1=0 この式というのは2次曲線の式なので楕円、双曲線、放物線のどれかになると思うのですが、これらになるのだったら間違いなく接線はどの点でも存在するというのは当たり前なのではありませんか? それとも私の問の理解の仕方が間違っているのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
この形なら、楕円 D:(ax + by)^2/α^2 + (cx + dy)^2/β^2≦1 に代入できますね。 ありがとうございます。 答えは、π/√(ac - b^2) となりました。