- ベストアンサー
楕円の面積
楕円 D:(ax+by)^2/α^2+(cx+dy)^2/β^2≦1 に関して Δ(デルタ) = ad-bc と定義し、この Δ の値が 0 でないとき、D の面積 ∬_D dxdy を求めるためには、どうすればよいでしょうか。
- mage_ruisseau
- お礼率50% (8/16)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
ax+by=X, cx+dy=Y として置換積分すればよいのでは？ ∬Ddxdy=∬X^2/α^2+Y^2/β^2dXdY X (1/Δ)=(1/Δ)αβπ (1/Δ)は置換積分のヤコビアンです。 ヤコビアンの定義と行列の固有値の性質から、 座標系が上のように一時変換で変換される場合は 変換行列の行列式の逆数になります。
関連するQ&A
- 逆行列を求める式変形がよく分かりません。
２次正方行列の逆行列をもとめる途中式なんですが、次のように教科書に書いてあります。 A=(a,b; c,d)に対し、AX=Eを満たす行列X=(x,y; z,w)が存在すると仮定する。このとき AX=(ax+by,az+bw; cx+dy,cz+dw)、E=(1,0;0,1)であるから次の等式が成り立つ。 ax+by=1かつcx+dy=0かつaz+bw=0かつcz+dw=1 ここから次の関係式がえられる。 x(ad-bc)=d、y(ad-bc)=-c、z(ad-bc)=-b、w(ad-bc)=a これはどんな変形をして「次の関係式」を導いたのでしょうか？すみませんが教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 楕円内の三角形の面積
楕円2x^2+y^2=4上の点A(1,√2)をとる。直線l:y=ax+bは点Aにおける楕円の接線と平行で,楕円と相異なる2点で交わるものとする。次の問いに答えよ。 (1) 傾きaの値を求めよ。 (2) 直線lが楕円と相異なる2点で交わるようなbの範囲を求めよ。 (3) 楕円と直線lとの2交点をB、Cとする。bが(2)で求めた範囲を動くとき、△ABCの面積が最大となるbを求めよ。 (1)は-√2、と(2)は-2√2<b<2√2と問題なく解けました。(3)ですが、点B、Cの座標をbで表しB、C間の距離を求め、点Aと直線lの距離を出して面積をbで表せたのですが、その後の計算で√が出てきて困ってしまいました。そこの計算の仕方、あるいは別の面積の出し方などありましたら教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 楕円 ax^2+2bxy+cy^2≦1 の面積
以前にも同じ質問をしましたが、良い手がかりをつかめなかったので、もう一度質問します。 a,b,c は定数とします。 ac-b^2＞0 , a＞0 のとき、楕円 E: ax^2+2bxy+cy^2≦1 の面積 ∬_E dxdy を求めるとき、どのようなことをすればよいでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の対角化の問題です。
見にくくて恐縮です。画像も参照してください。 2次正方行列 A の対角化が ┌ ┐ │x 0│ │0 y│ └ ┘ のとき det(A) を求める。 ┌ ┐ 1 ┌ ┐ P =│a b│ P^(-1) = ────│ d -b│ │c d│ ad - bc │-c a│ └ ┘, └ ┘. ┌ ┐ P^(-1)AP =│x 0│ │0 y│ └ ┘. PP(^-1)AP = AP ┌ ┐┌ ┐ ┌ ┐ =│a b││x 0│=│ax by│ │c d││0 y│ │cx dy│ └ ┘└ ┘ └ ┘. A = APP^(-1) 1 ┌ ┐┌ ┐ = ────│ax by││ d -b│ ad - bc │cx dy││-c a│ └ ┘└ ┘ 1 ┌ ┐ = ────│adx-bcy -abx+aby│ ad - bc │cdx-cdy -bcx+ady│ └ ┘ ここまで合ってるでしょうか？ 合っていても det(A) = 1/(ad-bc)( (adx-bcy)(-bcx+ady) - (-abx+aby)(cdx-cdy) ) を計算するのはメンドイです。行列式ならもっとうまい方法で求められるのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 楕円のプログラム(一般→標準形）について
こんばんわ、質問させて頂きます。 この掲示板の「楕円のプログラム」を参照して楕円のプログラムを組みました。（EXCELを用いて近いうちにCで組む予定です。) ある計測点１２点より 楕円の一般方程式に当てはめ、 Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=1 として各値A,B,C,D,Eを転置、逆行列、積を用いて解きました。 そして、この値は A=1/a^2=-3.16665e-7 B=1/b^2=1.4901e-8 C=-2c/a^2=0 D=-2d/b^2=-2.32831e-10 E=c^2/a^2+d^2/b^2=1 となりました。ここで、小文字a,b,c,d,eは楕円の方程式の標準形 (x-c)^2/a^2＋(y-d)^2/b^2=1 となりますが、 Aの値は負となります。つまりa^2は虚数解を持ちます。 これはどういう意味を持っているのでしょうか？ ご教授よろしくお願いします。 用いた計測座標（x,y) 0.004343 0.013968823 0.00314534 0.01454172 0.005537 0.016603472 0.00640595 0.019503824 0.00554108 0.022148798 0.00296192 0.024042826 0.000376075 0.024724047 -0.002755 0.024067637 -0.0051356 0.022425276 -0.0061896 0.019473675 -0.0051498 0.016384854 -0.0028986 0.014560819
- 締切済み
- C・C++・C#
- 行列と連立１次方程式
行列と連立１次方程式 連立１次方程式AX=Oの解 (1)連立１次方程式{ax+by=p⇔(a b)(x)⇔(p)⇔AX=Pと行列で表される。 cx+dy=q (c d)(y) (q) (1)の方程式で、P=Oのとき (2)方程式AX=Oは常にX=０を解にもつ (3)方程式AX=OがX=O以外の解をもつ⇔⊿(A) 解説 [1]A^-1が存在するとき AX=Oから、A^-1(AX)=A^-1O ゆえにX=O→解はx=y=0だけ [2]A~-1が存在しないとき すなわち ⊿(A)=ad-bc=0のとき,ad=bcであり、ax+by=0とcx+dy=0は、ともに定数項が０であるから同値となる。 教えてほしいところ １．(3)の場合なんですが確かに、X=Oを解にもたないのでO以外と言えますが、O以外で必ず解をもつといえる理由を教えてください また、⊿(A)=0と同値であるといえる理由を教えてください。 ２．ax+by=0とcx+dy=0は確かに定数項は０ですが、a=c,b=dかどうかわからないと同値とはいえないのでは？？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式（xとｙがｔで変化）
dx/dt=ax-by・・・１ dy/dt=-cx+dy・・・２ を解く時にマトリックスを使って解く方法も本に 書いてあったのですがなんだかよく分からなかった ので、地道に連立方程式を解くことにします。 しかし１をｔで時間微分し、２のdy/dtを代入すれば xだけの式になりますが、 （D^2-（a+d）D+(ad-bc)）x=0 を解くのでしょうか？？abcdではなく数値だったら 解けると思うのですが・・・これだと解けません。 最終的にxとyのグラフを書きたいのですが。 本当は最終的にx/y＝1になるための条件を書きなさいという問題なのですが、このようなアプローチをしてみました
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 楕円体の表面積
楕円面(x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1で囲まれる立体について体積，表面積を求めよ．という問題を解いています． 体積は極座標に変数変換して，容易に4πabc/3と求まります．表面積についてですが模範解答では， 「楕円体の主軸のうちでaを基準にすると，b,cは b=βa，c=γa (β，γは定数) と表せる．よって体積をVとすると V=4πβγa^3/3 となる．これをaについて微分すると表面積Sは S=4πβγa^2 β,γを上式に当てはめると S=4πa^4/bc 」 となっています．ここで分からないのは，体積を微分して表面積を出すところです．たしかに，球の場合(a=b=c)は厚みdaの薄皮を重ねていけば体積になります．しかし楕円体の場合，薄皮の厚みは一定ではないのでこの方法で正しいのでしょうか？ また，楕円体の表面積について調べてみると一般には複雑な式で計算されるようです． さらに，解答最後の方の，Sにβ,γを当てはめるところで，β=b/a，γ=c/aなので S=4πbc になるのでは？と思います．しかしこれではSはaに影響されないことになるのでおかしいとは思うのですが． 質問が多くすみませんが，どなたか教えていただけませんか？
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます。