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楕円の変数変換
楕円E:(x/a)^2+(y/b)^2≦1 に関して 面積 ∬_E dxdy を求めるとき、 変数変換 x=ar*cosθ,y=br*sinθ を行うと、楕円 E の r,θ での表示 E' はどのようになるのでしょうか?
- mage_ruisseau
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E={(x,y)|(x/a)^2+(y/b)^2≦1} E'={(r,θ|0≦r≦1,-π≦θ<π} または E'={(r,θ|0≦r≦1,0≦θ<2π} で良いでしょう。 なお、積分の変数変換でヤコビアン|J|を忘れないようにして下さい。 つまり dxdy=|J|drdθ=abrdrdθ ∫[E] dxdy=∫[E'] abrdrdθ =4ab∫[0,π/2] dθ∫[0,1] rdr =2πab[r^2/2](r=1) =πab ということです。
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- ferien
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>表示 E' はどのようになるのでしょうか? E’は、r^2≦1になると思います。
補足
確かに、x=ar×cosθ,y=br×sinθ を代入すればそうなりますが、そういうことではありません。 楕円 E を極座標表示したときの r,θ の範囲は、それぞれどのようになりますか?という質問です。
- stomachman
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つまり、 (x/a)^2+(y/b)^2 という式に x=ar*cosθ と y=br*sinθ を代入したらどうなるか、というご質問ですね。 自分でやりなされ。
補足
すみません、そういうことではありません。 楕円 E を極座標表示したときの r,θ の範囲は、それぞれどのようになりますか?という質問です。
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お礼
ありがとうございます。 理解できました。