楕円の面積と関数

質問

xy平面上にある楕円上の座標は、
(x,y)=( a・sinθ,b・cosθ )
で、関数と面積Sは
x^2/a^2+y^2/b^2=1
S=πab
となります。

次に、
(x,y)=( a・sinθ,b・cos(θ+α) )
a,b,α:定数
はx,y軸に対して斜めに配置された楕円になりますが、この楕円の面積はどのように求めるのでしょうか？また、関数にできるのでしょうか？

お分かりになる方、お手数ですが、教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.4

info22 · ベストアンサー

＃１，２，３です。

＞S=πa'b'=πab・cosα
S=πa'b'=πab・|cos(2α)|
の間違いです。

＞関数については、
＞x^2/a'^2+y^2/b'^2=1　…(■)
長径a'と短径b'は良いですが、楕円が傾斜していますので
このグラフがある角度回転しています。
長径a'のところの傾斜角φは
A#3で書いた
＞Asin2θ+Bcos2θ={√(A^2+B^2)}sin(2θ+β) or {√(A^2+B^2)}cos(2θ+γ)
＞の形に直せば
＞sin(2θ+β)またはcos(2θ+γ) =1で最大(θ=θmax)
からφ=θmaxとなり、
(■)の楕円を時計回りに角度φだけ回転した式となるかと思います。
φだけ回転移動してやれば傾いた楕円の式になるかと思います。

A,B,αに具体的な値を入れて、a',b',φ=θmaxを求めて、(■)の楕円の式
をφだけ反時計方向に回転した楕円と、
最初の質問の媒介変数θの楕円(a',b',αは上で求めたものを使う）を描いて一致するか確認してみると良いですね。

お礼

何度もありがとうございました。
大変勉強になりました。

回答No.3

info22

#1,#2です。
＞f(θ)=(1/2)[(-b^2・sin2α)sin2θ+(b^2・cos2α-a^2)cos2θ+(a^2+b^2)]
＞(a^2+b^2)は定数なので、sin2θとcos2θの項を合成して最大・最小を求めるのでしょうか？

そうです。
Asin2θ+Bcos2θ={√(A^2+B^2)}sin(2θ+β) or {√(A^2+B^2)}cos(2θ+γ)
の形に直せば
sin(2θ+β)またはcos(2θ+γ) =1で最大(θ=θmax)
sin(2θ+β)またはcos(2θ+γ) =-1で最小(θ=θmin)
が求まります。
この時, a'=√f(θmax),b'=√f(θmin)
面積S=πa'b'

お礼

何度もありがとうございます。
√(A^2+B^2)=√[a^4+b^4-2・a^2・b^2・cos2α]
から
a'=√{(1/2)[a^2+b^2+√(a^4+b^4-2・a^2・b^2・cos2α)]}
b'=√{(1/2)[a^2+b^2-√(a^4+b^4-2・a^2・b^2・cos2α)]}
となり、
S=πa'b'=πab・cosα
と求めることができました。
関数については、
x^2/a'^2+y^2/b'^2=1
でよいのでしょうか？

回答No.2

info22

#1です。
A#1で0<b<aと仮定した場合の補足です。

α=±π/2のときcos(θ+α)=±sinθになるのでこの場合は
長径a'=√(a^2+b^2),短径b'=0となって面積S=0となります。

α=0または±πの場合はcos(θ+α)=±cosθになるので
長径a'=a,短径b'=bでS=πabとなります。

α≠±π/2（または3π/2),α≠0または±πの場合は
0<b'<a',S=πa'b'=g(α)(αの関数)になります。
A#1で書いた最大、最小を求めることになります。
がんばっておやり下さい。

＃こういう問題はまず文字定数に具体的な数値を与えた場合について何通りか、最大、最小を求めて解くことをやって図を描いて解法が正しいことを確認してから、文字変数を順に導入していくと、解が正しいかどうかの判断やミスをしないで正しい結果を導けますね。
具体的なグラフはフリーソフトのGrapes(参考URL)を使えば、パラメー（a,b,α）タや媒介変数θによるプロットができますので計算結果の検証が楽に行えます。

参考URL：

http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/

お礼

何度もご回答ありがとうございます。
面積・関数とも教えていただいた方法で試みましたが、まだ回答までたどり着いていません。

面積について、
長径はa'=√(a^2+b^2)で良いと思いますが、短径b'の求め方が分からず、つまづいています。

関数について、
f(θ)=x^2+y^2=(a^2)*(sinθ)^2 +(b^2)*{cos(θ+α)}^2
=(1/2)a^2(1-cos2θ)+(1/2)b^2[1+cos(2θ+2α)]
=(1/2)[-a^2・cos2θ+b^2(cos2θcos2α-sin2θsin2α)+(a^2+b^2)]
=(1/2)[(-b^2・sin2α)sin2θ+(b^2・cos2α-a^2)cos2θ+(a^2+b^2)]
という変形をしてみました。
(a^2+b^2)は定数なので、sin2θとcos2θの項を合成して最大・最小を求めるのでしょうか？

回答No.1

info22

考え方だけ。
＞x,y軸に対して斜めに配置された楕円になります。
＞この楕円の面積はどのように求めるのでしょうか？

楕円なら長径（長い方の半径）a'と短径（短い方の半径）b'
を求めれば、面積S'=πa'b'
から計算できます。

＞関数にできるのでしょうか？

計算を簡単にするために仮に0<a<bとしておきましょう。
楕円上の点(x,y)と原点との距離Lの最大値がb',最小値がa'になります。
今L^2をf(θ)と置くと
f(θ)=x^2+y^2=(a^2)*(sinθ)^2 +(b^2)*{cos(θ+α)}^2
の最大値、最小値を0≦θ≦πで求めることで(a')^2と(b^2)が導出できます。

（原点を中心とする半径rの円が楕円と交わる時のrの最大値がa',rの最小値がb'ということで、r=a'の最大円のとき最大円は楕円に外接します。r=b'の最小円のとき、最小円は楕円に内接します。）

計算は自分でやってみてください。